2003-2004高等数学下试题解答

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1、2003～2004学年第二学期《高等数学》期末考试试题A卷答案一、填空题（每小题2分，共8分）：（1）解：由高斯公式知，所求积分：4I=∫∫∫(1−siny)dv=∫∫∫dv−∫∫∫sinydv=π2222222223x+y+z≤1xz+≤y+z≤11x+y+22244222x（由sinydv=0）；(2){}1,2,−2或i+j−k；；(3)1；（4）z−2y=;∫∫∫222299999hx+y+z≤1二、选择题（每小题2分，共8分）：（1）A；（2）B；（3）A;（4）C;三、(每小题7分，共28分)⎧x+y=v⎧0≤v≤1⎫

2、∂(x,y)解：（1）设⎨即则D变成D′=⎨(u,v)⎬,=−1,⎩y=u⎩0≤u≤v⎭∂(u,v)u1vu11I=∫∫evdudv=∫∫dvevdu=∫v(e−1)dv=(e−1)；2D′0002ππtt22（2）I=∫∫∫dθdφf(r)rsinφdr=4π∫f(r)rdr,故0000t24π∫f(r)rdr2I0tf(t)f(t)lim=lim=lim=lim=f′(0)=1+4+4+3+t→0πtt→0πtt→0tt→0t∂z∂z∂z（3）在z+xy=f(xz,yz)两边同时对x求导，得+y=f′(z+x)+f′y12∂x

3、∂x∂x∂zf1′z−y解得=∂x1−f′x−f′y122（4）由题设方程的特征方程为λ+3λ+2=0，解出λ=−2,λ=−1，故齐次微分方程12−2x−x的通解为y=Ce+Ce。其中C,C为任意常数。1212−2x设题给方程的一个特解为y=Axe，得-2x−2x-2x−2x−2x(y)′=Ae−2Axe，(y)′′=−2Ae−(2Ae−4Axe)−2x−2x−2x−2x−2x−2x代入题给方程得−4Ae+4Axe+3Ae−6Axe+2Axe=4e，−2x−2x−2x即：−Ae=4e，得A=−4，即特解为y=−4xe。−2x−2x

4、−x由此得题给方程的通解为y=−4xe+Ce+Ce。12四、(10分)22解：当x+y≠0时，显然f(x,y)连续。22xyx+y在点(0,0)附近，因为f(x,y)−f(0,0)≤≤，x2+y22故limf(x,y)=f(0,0)，从而f(x,y)在点(0,0)连续。(x,y)→(0,0)在点(0,0)处，按定义，f(x,0)−f(0,0)f(0,y)−f(0,0)有f(0,0)=lim=0，f(0,0)=lim=0，xyx→0xx→0y故f(x,y)在点(0,0)处有一阶偏导数。Δf−[fx(0,0)Δx+fy(0,0)Δy]

5、ΔxΔy1但因lim=lim=，Δx→0Δx2+Δy2Δx→0Δx2+Δy22Δy=ΔxΔy=Δx故函数f(x,y)在点(0,0)处不可微分。五、(10分)∂φ(x)∂y解：由题设知需有：=[(sinx−φ(x))]，∂x∂yx1sinx故得方程：φ′(x)+φ(x)=xx11−∫dxsinx∫dx1其通解为：φ(x)=ex(∫exdx+C)=(−cosx+C)xxπ−1−cosx由φ(π)=1，知C=π−1，故φ(x)=xBy所以有：I=∫()sinx−φ(x)dx+φ(x)dyxA(π,π)ππ−1−cosxyπ−1−cosx

6、=∫(sinx−)dx+dy=∫dy=πxxx(1,0)0六、(10分)22解：若设D为xoy平面上的圆域：x+y≤25，那么曲面Σ的方程为z=5−y,(x,y)∈D∂z2∂z2Σ曲面上的面积微元ds=1+()+()dxdy=2dxdy，由：∫∫xdxdy=0，∂x∂yD我们有：I=∫∫(x+y+z)ds=∫∫(x+y+5−y)2dxdy=52∫∫dxdy=1252πΣDD七、(10分)解：法（1）化为无条件极值问题，设P(x,y,z)为交线上的一点，则P到原点的距离的平2222222方为：x+y+z=1−y=f(y),(∵x+z

7、=1−2y)222212z1将x=1−2y代入x+2y+z=1得:(y−)+=36912124显然(x−)≤即0≤y≤因此y=此时max393912222225x=−y=z=0d=x+y+z≥dmin=33912故交线上距离原点最近的点为：P(−,,0)332222222法（2）由题设有d=x+y+z，即d=f(x,y,z)=x+y+z222222令F(x,y,z,λ,λ)=x+y+z+λ(x+2y−1)+λ(x+2y+z−1)1212⎧Fx=2x+λ1+2xλ2=0⎧⎧x=−1⎪x=13Fy=2y+2λ1+4yλ2=0⎪y=0⎪

8、y=23⎪⎪⎪⎪⎨Fz=2z+2λ2z=0⇒⎨z=0与⎨z=0⎪Fλ1=x+2y−1=0⎪λ1=0⎪λ1=0⎪222⎪λ=−1⎪λ=−1⎪Fλ=x+2y+z−1=0⎩2⎩2⎩212故交线上距离原点最近的点为：P(−,,0)33八、（6分）bb22解