高等数学下习题解答

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1、高等数学(下)习题解答胡世凯高等数学(下)习题解答胡世凯四川大学数学学院2007/6/61高等数学(下)习题解答胡世凯大学数学(I)微积分---2复习提要1.二次曲面和方程2.多元函数的定义,连续,可微,偏导存在,偏导连续之间的关系3.隐函数的偏导数(一阶及二阶)4.方向导数、梯度和散度的定义及计算公式5.多元微分学的几何应用6.多元函数的极值(包括条件极值)7.函数的奇偶性,积分区域对称性与二重积分计算的关系,二重积分的几何意义,三重积分(利用柱面坐标和球面坐标)的计算8.两类曲线积分计算、格林公式、曲线积分与路径无关的条件,利用高斯公式计算曲面积分9.正项级数、交错级数的敛散性、绝对收敛

2、、条件收敛10.函数展开成幂级数(间接法),傅立叶级数的收敛定理11.一阶微分方程计算、二阶常系数线性方程的解与特征方程的关系2高等数学(下)习题解答胡世凯向量及其运算一、填空题:42631.设a={3,2,1},b={2,,k}.若a^b,则k=-;若a//b,则k=.33232.已知三点坐标A(3,1,2),B(1,-1,1),C(2,0,k).若A,B,C共线,则k=.2p3.已知

3、a

4、=2,

5、b

6、=3,夹角áa,bñ=,则

7、2a-b

8、=13.3444.a=2i-j+3k,b=i+3j-k,则

9、2a-b

10、=83,Projba=-,cosáa,bñ=-.111545.设(a´b)×c=2

11、,则[(a+b)´(b+c)]×(c+a)=4.6766.平行于矢量a={6,-7,6}的单位矢量b=(,-,).1111117.设a={2,1,2},b={4,-1,10},c=b-la,且a^c,则l=3.二、计算题:p1.已知单位向量P0与x轴、y轴的交角为,与z轴的夹角为钝角,又a=2j-k,试计算:①P0×a;②3P0´a;③(P0´a)×(2P0-3a).pp22pp112r解:单位向量P0=(cos,cos,-1-cos-cos)=-(,,),a=-(0,2,1),3333222r1122所以①Pa×=(,,-)×(0,2,-1)1=+;02222122111r112--11②

12、Pa´=(,,-)´(0,2,-1)=(22,22,22)=(-+2,,1);0222222--11002rrrrr③(P´a)×(2P-3a)=2(P´a)×P-3(P´aa)0×=.000002.设a,b,c均为非零向量,且a=b´c,b=c´a,c=a´b,求

13、a

14、+

15、b

16、+

17、c

18、.解:根据已知条件,向量a,b,c两两相互垂直,且长度都为1,所以

19、a

20、+

21、b

22、+

23、c

24、=3.uuurrruuurrruuurrr3.若AB=+ab5,BC=-+28ab,CD=-3()ab,试证:A,B,D三点在同一直线上.uuuruuur证明:只需证向量AB,AD为共线.通过计算有uuuruuuruuur

25、uuurrrrrAD=AB+BC+CD=2a+10b=+2(ab5)rrrp

26、a+-xba

27、

28、

29、4.设a,b为非零向量,

30、b

31、=2,áa,bñ=,求lim.3x®0x解:rrrrrrrr2r2r22rrr2

32、a+xb

33、

34、-a

35、2(a+xb)×()a+-xbaa+xb+xa×-balim==limlimx®0xxx®®00xxr2rrrrxb+22a××babrrrpp=lim=r=

36、b

37、cosáab,2ñ=´=x®0r22r22rrr

38、

39、a33a+xb+2xa×+ba3高等数学(下)习题解答胡世凯urrurrpuuururruuururr5.已知设

40、m

41、=5,

42、n

43、=3,m与n的夹角为设,A

44、B=m+2n,AD=-mn3.6uuuruuur求以AB,.AD为边的平行四边形的面积uuuruuuruuuruuur解:求以AB,.AD为边的平行四边形的面积可以看成计算的AB´AD模uuuruuururrurrurrrururrAB´AD=(m+2n)´(m-3n)=-3m´n+25n´m=-´mnuuuruuururrurrp175

45、AB´AD

46、=5´

47、m´n

48、=5×

49、mn

50、×

51、

52、×sin=5××53×=622rrrrrrrrrr6.若矢量a+3b垂直于7a-5b,且矢量a--4b垂直于7a2,b求ab与的夹角.rrrrrrrr根据已知,(a+3b)×(7a-5b)=0,(a-4b)(

53、×7ab-=2)0,即有r22rrrrì7a+16a×b-150b=ì7×kk2+16×cosq-=150

54、

55、aïïíírrrrÞ=()kr222ï7a-30a×bb+=80ïî7×kk-30cosq+=80

56、

57、bî解:1二者相减可得46×kkcosq-23=0,Þ=所以2cosq11212pp7×()+16××cosq-15=0Þcosq=±Þqq==或舍()去2cosqq2cos233rrrurrr已知三

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