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1、浙江工业大学04/05(二)高等数学AⅡ考试试卷A标准答案一、填空题（每小题4分）：yyy11．1，2.(-)exdx+exdy，3．2x+y+4z-7=0,4．22xx25．e-1,6.-6p,7.(1-L,L+1)(或闭区间、半开半闭区间)8.0二、试解下列各题（每小题6分）：22xy¶z¶z1．设z=f(x-y,e)，其中f(u,v)一阶偏导数连续，求:，¶x¶y¶zxy解：=2xf¢+yef¢12¶x¶zxy=-2yf¢+xef¢12¶x®22．求函数u=2xy-z在点（1,－1,1）处沿方向l=(1,1,0)的方向导数，并问该
2、函数沿什么方向的方向导数的最大？¶u¶u¶u解：=2y，=2x，=-2z¶x¶y¶z¶u¶u¶u=-2，=2，=-2¶x(1,-1,1)¶y(1,-1,1)¶z(1,-1,1)®0æ11öl=ç,,0÷è22ø¶u故所求方向导数为=0¶l沿方向(-2,2,-2)的方向导数的最大。三、试解下列各题（每小题6分）：2x1．求：òò2dxdy，其中区域D由曲线x=2,y=x,xy=1所围成。yD2x22x1解：òò2dxdy=ò1xdxò12dyDyxy231=ò(x-x)dx=21422222．求：òòòzdxdydz其中W：由z=1-x-
3、y及z=x+y所围成的闭W区域。225-1解：方法一D:x+y£xy22y5-121-x-y2p1-rzdxdydz=dxdyzdz=dq2rdrzdzòòòòòòxx+y2ò0ò0òr2WDxyé11213ù=(5-1)-(5-1)-(5-1)pêúë41648ûz=1-x2-y2üï5-12方法二ýÞz+z-1=0Þz=（负的舍去）22z=x+yïþ5-11òòòzdxdydzò2zdzòòdxdy+ò51zdzòòdxdy0-WDz2Dzé11213ù=ê(5-1)-(5-1)-(5-1)úpë41648û四、试解下列各题（每小题
4、6分）：21．计算曲线积分ò(2x+2xy+3y)dx-(x+y+1)dy，其中L是从O(0,0)沿曲线L2y=x到A(1,1)的弧段。2解：ò(2x+2xy+3y)dx-(x+y+1)dyL1123222=ò[2x+2x+3x-(x+x+1)2x]dx=ò(3x-2x)dx=0002．设有一半径为1（m），高为2（m）的圆柱形容器，盛有1.5（m）高的水，放在离心机上高速旋转，因受离心力的作用，水面呈抛物面形，问当水刚要溢出容器时，液面的最低点距容器底面的距离是多少？22解：设水面呈抛物面的方程为z=k(x+y)+h（h为液面的最低点
5、距容器底面的距离），抛物面过点(1,0,2)，代入得2=k+h（1）又水的体积为V=1.5p=dv水òòòW2p1kr2+hòòòdv==ò0dqò0rdrò0dzWækö=pç+h÷（2）;由（1）和（2）得h=1è2ø五、（8分）判别级数的收敛性，收敛级数指出是绝对收敛还是条件收敛¥n-1¥(-1)11n+11．åsin2．ålnn=12n-1nn=2nn-1n-1(-1)111解1．sin=sin2n-1n2n-1n3111limsinn2=原级数绝对收敛。n®¥2n-1n21n+112解2．u=ln=ln(1+)nnn-1nn-
6、13331212limun2=ln(1+)n2=limn2=2原级数绝对收敛。nn®¥nn-1n®¥nn-1,ìx=0六、（8分）设曲面å是由曲线段：íz，0£z£1，绕oz轴旋转而成的下侧，计算曲îy=e22面积分I=òòxdydz+ydzdx+2zdxdy。å解：I=òò+òò+òò-òò-òòSSSSS上下上下òò+òò+òò=òòò[2(x+y)+2]dv=òòò2(x+y)dv+òòò2dvSSSWWW上下2=0+p(e-1)2=p(e-1)2òò=òò2zdxdy=2peSS上上òò=òò2zdxdy=0SS下下222I=ò
7、ò+òò+òò-òò-òò=p(e-1)-2pe=p(-1-e)SSSSS上下上下23nxxxn-1x七、（8分）求幂级数-++L+(-1)+L的收敛半径、收敛域及23n32×33×3n×3和函数。an1n+1解：lim=lim=,收敛半径R=3n®¥an®¥(n+1)3n¥n-11当x=3时，级数å(-1)收敛n=1n¥æ1ö当x=-3时，级数åç-÷发散n=1ènø收敛区间为(-3,3]¥n¥¥n-1xxn-1n-1xnnx1å(-1)=åò0(-1)xdx=ò0å(-1)xdx=ò0dx=ln(1+x)n=1nn=1n=01+xn
8、æxöç÷23n¥xxxn-1xn-1è3øx-++L+(-1)+L=å(-1)=ln(1+)23n32×33×3n×3n=1n32222八、（8分）求球面å：xy++z---+=22220axayaza上
