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1、浙江工业大学04/05(二)高等数学AⅡ考试试卷A标准答案一、填空题(每小题4分):yyy11.1,2.(-)exdx+exdy,3.2x+y+4z-7=0,4.22xx25.e-1,6.-6p,7.(1-L,L+1)(或闭区间、半开半闭区间)8.0二、试解下列各题(每小题6分):22xy¶z¶z1.设z=f(x-y,e),其中f(u,v)一阶偏导数连续,求:,¶x¶y¶zxy解:=2xf¢+yef¢12¶x¶zxy=-2yf¢+xef¢12¶x®22.求函数u=2xy-z在点(1,-1,1)处沿方向l=(1,1,0)的方向导数,并问该
2、函数沿什么方向的方向导数的最大?¶u¶u¶u解:=2y,=2x,=-2z¶x¶y¶z¶u¶u¶u=-2,=2,=-2¶x(1,-1,1)¶y(1,-1,1)¶z(1,-1,1)®0æ11öl=ç,,0÷è22ø¶u故所求方向导数为=0¶l沿方向(-2,2,-2)的方向导数的最大。三、试解下列各题(每小题6分):2x1.求:òò2dxdy,其中区域D由曲线x=2,y=x,xy=1所围成。yD2x22x1解:òò2dxdy=ò1xdxò12dyDyxy231=ò(x-x)dx=21422222.求:òòòzdxdydz其中W:由z=1-x-
3、y及z=x+y所围成的闭W区域。225-1解:方法一D:x+y£xy22y5-121-x-y2p1-rzdxdydz=dxdyzdz=dq2rdrzdzòòòòòòxx+y2ò0ò0òr2WDxyé11213ù=(5-1)-(5-1)-(5-1)pêúë41648ûz=1-x2-y2üï5-12方法二ýÞz+z-1=0Þz=(负的舍去)22z=x+yïþ5-11òòòzdxdydzò2zdzòòdxdy+ò51zdzòòdxdy0-WDz2Dzé11213ù=ê(5-1)-(5-1)-(5-1)úpë41648û四、试解下列各题(每小题
4、6分):21.计算曲线积分ò(2x+2xy+3y)dx-(x+y+1)dy,其中L是从O(0,0)沿曲线L2y=x到A(1,1)的弧段。2解:ò(2x+2xy+3y)dx-(x+y+1)dyL1123222=ò[2x+2x+3x-(x+x+1)2x]dx=ò(3x-2x)dx=0002.设有一半径为1(m),高为2(m)的圆柱形容器,盛有1.5(m)高的水,放在离心机上高速旋转,因受离心力的作用,水面呈抛物面形,问当水刚要溢出容器时,液面的最低点距容器底面的距离是多少?22解:设水面呈抛物面的方程为z=k(x+y)+h(h为液面的最低点
5、距容器底面的距离),抛物面过点(1,0,2),代入得2=k+h(1)又水的体积为V=1.5p=dv水òòòW2p1kr2+hòòòdv==ò0dqò0rdrò0dzWækö=pç+h÷(2);由(1)和(2)得h=1è2ø五、(8分)判别级数的收敛性,收敛级数指出是绝对收敛还是条件收敛¥n-1¥(-1)11n+11.åsin2.ålnn=12n-1nn=2nn-1n-1(-1)111解1.sin=sin2n-1n2n-1n3111limsinn2=原级数绝对收敛。n®¥2n-1n21n+112解2.u=ln=ln(1+)nnn-1nn-
6、13331212limun2=ln(1+)n2=limn2=2原级数绝对收敛。nn®¥nn-1n®¥nn-1,ìx=0六、(8分)设曲面å是由曲线段:íz,0£z£1,绕oz轴旋转而成的下侧,计算曲îy=e22面积分I=òòxdydz+ydzdx+2zdxdy。å解:I=òò+òò+òò-òò-òòSSSSS上下上下òò+òò+òò=òòò[2(x+y)+2]dv=òòò2(x+y)dv+òòò2dvSSSWWW上下2=0+p(e-1)2=p(e-1)2òò=òò2zdxdy=2peSS上上òò=òò2zdxdy=0SS下下222I=ò
7、ò+òò+òò-òò-òò=p(e-1)-2pe=p(-1-e)SSSSS上下上下23nxxxn-1x七、(8分)求幂级数-++L+(-1)+L的收敛半径、收敛域及23n32×33×3n×3和函数。an1n+1解:lim=lim=,收敛半径R=3n®¥an®¥(n+1)3n¥n-11当x=3时,级数å(-1)收敛n=1n¥æ1ö当x=-3时,级数åç-÷发散n=1ènø收敛区间为(-3,3]¥n¥¥n-1xxn-1n-1xnnx1å(-1)=åò0(-1)xdx=ò0å(-1)xdx=ò0dx=ln(1+x)n=1nn=1n=01+xn
8、æxöç÷23n¥xxxn-1xn-1è3øx-++L+(-1)+L=å(-1)=ln(1+)23n32×33×3n×3n=1n32222八、(8分)求球面å:xy++z---+=22220axayaza上