05-06(下)高等数学a标准答案new

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1、浙江工业大学05/06(二)高等数学AⅡ考试试卷A标准答案一、填空题（每小题4分）：yæyö1．dx+çln(x+y)+÷dy，2.(y+xj¢(x))f¢+2(x+yj¢(x))f¢，ç÷12x+yèx+yø1e3．0,4．dyfx(,)ydx,5．24p,6.2.òò0ey二、选择题（每小题4分）：1.D,2.B,3.B、C.三、试解下列各题（每小题7分）：2z¶z¶z1．隐函数z=zxy(,)由方程xyz=e确定，求：，2¶x¶x¶zyz解：=z¶xe-xy22z322z¶z2yze-2xyz-yze=2z3¶x(e-xy)222．求圆柱面xy+=1

2、被平面xyz++=0截得椭圆的长半轴的长度.解：椭圆过原点22222求函数u=x+y+z在满足条件xy+=1，xyz++=0下的最大值点22222令F(x,y,z,l,m)=x+y+z+l(x+y+z)+m(x+y-1)ìFx=2x+l+2ux=0ì2ïx=±ïF=2y+l+2my=0ï2ïyïï2íFz=2z+l=0Þíy=±ïï2x+y+z=0ïïz=m222ïîx+y=1ïî所以长半轴长度为3四、试解下列各题（每小题7）：42lnx1．计算二次积分dydxòò1yx2-122xlnx解：=dxdyòò11x2-12=òlnxdx=2ln2-11222

3、222．求òòò(x+y)dv，其中W是由曲面4z=25(x+y)及平面z=5所围成的闭区W域.522解：=òdzxòò()+ydxdy0Dz2z52p==dzdq5r3dr=8pò0ò0ò022323．求：òòxzdydz+(xy-z)dzdx+(2xy+yz)dxdy，其中å为上半球体å222222x+y£a，0£z£a-x-y的表面外侧.222解：=òòòx+y+z)dxdydzWp2pa24=ò0dqò0djò0rsinjdr52pa=5¥2n+1n五、（8分）求幂级数åx的收敛区间及和函数.nn=03!nan+1解：lim=0,收敛半径R==¥,

4、收敛区间为(-¥,+¥)n®¥an¥n2+1¥n(n1)n1xnn-++æöånx=åç÷n=03!nn=0n!è3øx2¥1xnx¥1xn¥1xnæx2xöxæöæöæöæöæö3=ç÷åç÷+ç÷åç÷+åç÷=çç++1÷÷eè3øn=0n!è3øè3øn=0n!è3øn=0n!è3øè93ø六、（8分）设fx()是周期为2p的周期函数，它在[-pp,)上的表达式为f()xx=，1．将fx()展开成傅里叶级数72．若设该傅里叶级数的和函数为Sx()，则求S(3)p，S()p的值.2解：1.fx()是周期为2p的奇函数,a=0，n2p2n+1b=xsi

5、nnxdx=(-1)(n=1,2,3,L)nòp0n11n+11fx()=2(sinx-sin2x+sin3x-L+(-1)sinnx+L)23n(-¥

6、面积.1．证法１：面积元素dS=2pyds，积分区域为曲线L，故S=òdS=2pòyds．LL证法２：由对称性知，只须计算z³0,y³0的部分S1S在xoy面投影区域为a£x£b,0£y£f(x)12f(x)1+f¢(x)22S的方程为z=f(x)-y，ds=dxdy122f(x)-ybf(x)dy2S=òòds=4òòds=4òaf(x)1+f¢(x)dxò022SSf(x)-y1b2=2pòf(x)1+f¢(x)dx=2pòydsaLaa22２．S=2pòyds＝=2pòf(x)1+f¢(x)dx=2pòadx=2paL00八、（４分）设u=uxy(,

7、)，v=vxy(,)具有二阶连续偏导数且使曲线积分òudx+vdy与L1òvdx-udy都与路径无关，证明：函数u=uxy(,)，v=vxy(,)分别满足方程L12222¶¶uu¶¶vv+=0及+=02222¶¶xy¶¶xy证明：òudx+vdy与òvds-udy都与路径无关L1L122ì¶u¶vì¶u¶vï=ï2=ï¶y¶xï¶y¶x¶y所以í¶v¶uÞí22¶v¶uï=-ï=-ïî¶y¶xïî¶y¶x¶x222¶v¶v又v=vxy(,)具有二阶连续偏导数，所以=¶y¶x¶x¶y22¶¶uu所以+=022¶¶xy22ì¶u¶vì¶u¶vï=ï=2ï¶y¶

8、xï¶y¶x¶xí¶v¶uÞí22¶v¶uï=-ï=-ïî¶y¶x