离散动力系统若干混沌问题的研究

《离散动力系统若干混沌问题的研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、离散动力系统若干混沌问题研究邢秋菊(山东大学数学学院，山东，济南250100)(指导教师：史玉明教授)中文摘要混沌(Chaos)是非线性科学研究中的重要内容之一，是非线性动力系统的固有特性，也是非线性系统普遍存在的现象．研究混沌运动的学科，叫作混沌学(Chaology)．一般而言，混沌是指发生在确定性系统中，不需附加任何随机因素亦可出现的类似随机的动力学行为(内在随机性)．混沌系统的最大特点就是系统的演变过程对初始条件非常敏感．因此从长期意义上讲，系统的未来行为是不可预测的．混沌是随着现代科学技术的迅猛发展，尤其是在计算机技术

2、的出现和普遍应用的基础上发展起来的新型交叉学科．混沌研究的重要特点是跨越了学科界限．混沌学的普适性，标度率，自相似性，分形，奇怪吸引子，重整化群等概念和方法，正在超越原来数理科学的狭窄背景，走进化学，生物学，地学，医学及社会科学的广阔天地．著名物理学家J．Ford认为混沌是20世纪物理学中继量子力学和相对论之后的第三次革命．尽管科学家对混沌的研究已近半个世纪，但是至今仍没有一个统一的数学定义．这一方面是因为混沌系统非常复杂，从不同的角度理解会有不同的内涵；另一方面是因为混沌研究属于交叉学科，不同的科学领域对混沌现象的认知不同．

3、对离散的动力系统，数学上常用的定义包括；Li—Yorke意义下混沌f43，106]，De-vaney意义下混沌【24]，Wiggins意义下混沌【92]，分布式混沌[97】等．对微分同胚，数学上常用的混沌定义为Smale马蹄意义下混沌『34，79，961．混沌研究中的一个主要课题足混沌的判定．这一方面的研究已有丰硕的成果．对连续的区间映射，有Li和Yorke建立的周期3导致混沌f43]，以及非2次幂周期，紊乱，正的拓扑熵等均能产生Li—Yorke意义下混沌【4】．对高维映射，有山东大学博士学位论文著名的Morotto定理【52

4、，53，69】以及减弱条件下的返回扩张不动点理论(snap-backrepeller)【75】，以及林伟和陈关荣建立的异宿扩张不动点理论(heteroclinicrepellers)f48]．对一般Banach空间和完备度量空间中的离散系统，有史玉明，陈关荣和郁培建立的耦合扩张理论和返回扩张不动点理论【68，76】，以及李宗成和史玉明建立的连接扩张不动点异宿环理论【46】等．对微分同胚的混沌判定，有著名的二维空间中的Smale马蹄理论，和将其推广到高维空间中的Smale-Birkhoff定理[79】，以及K．Shiraiwa和

5、M．Kurata建立的高维流形非同胚映射的横截同宿轨导致Li-Yorke意义下混沌【77】，H．Steinlein和H．Walther建立的Banach空间上的C1映射的横截同宿轨导致Devaney意义下混沌[81]，J．K．Hale和x．Lin建立的Banach空间上的∥(七≥0)映射的广义横截同宿轨导致Li．Yorke和Devaney意义下混沌[28】，严寅和钱敏得到的横截异宿环导致横截同宿轨，从而横截异宿环导致混沌【95】，K．Burns和H．Weiss用几何的方法得到的横截同宿轨和横截异宿环导致马蹄【8J，李伟固建立的

6、二维空间中微分同胚的鞍结不动点的横截同宿轨导致马蹄[44】，B．Deng得到的高维空间中微分同胚的鞍结不动点的横截同宿轨导致马蹄【23】．物理及工程中常用的混沌判定是其解的有界性和正的Lyapunov指数或正的拓扑熵．自Li和Yorke引入混沌定义以后，对该混沌现象的研究引起了人们很大的兴趣．很多学者开始研究Li—Yorke混沌系统构成的集合的性质，比如在某个映射空间中的分布等．Kloeden通过构造具有3周期点的连续区间映射证明了Li．Yorke意义下混沌的连续区间映射集合在映射空间o(i，I)中稠密[37]．But．1er

7、和Pianigiani进一步得到了具有非2次幂周期的连续区间映射(从而是Li．Yorke意义下混沌的)包含了c(i，I)中的一稠密开集【9】．后来，利用【39]中关于非平凡遍历不变测度的存在性，Siegberg证明了对每个k22，存在一稠密集合也CC(I，，)，使得对每个．厂∈Ak，满足(i)，是Li-Yorke意义下混沌的；(ii)，的拓扑熵满足h(f)≥log七；(iii)存在关于，的连续的遍历不变测度．从而，存在稠密的剩余集冗cc(i，，)，使得对任意的，∈冗都满足上面的性质(i)和(iii)，且h(f)=∞【7s1．由

8、[3]中的结果，如果一个连续的区间映射．厂具有正的拓扑熵，那么它不仅是Lioyorke意义下混沌的，而且也是Devaney意义下混沌的．山东大学博士学位论文对于高维和无穷维混沌映射的稠密性的研究，Siegberg得到了卅维空间中的非循环的紧多面体尸上的连续映射空问C(尸，尸)