chapt_7 数学物理定解问题南京大学数学物理方法课件

《chapt_7 数学物理定解问题南京大学数学物理方法课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第七章数学物理定解问题§7.1数学物理方程的导出质点质点组连续体场（电、•••••磁、声、••温度）u(t)u(t)iu(r,t)u(r,t)常微常微组偏微、积偏微、积分方程分方程南京大学超导电子学研究所1（一）均匀弦的微小横振动物理规律：牛顿运动定律，弹性规律假定：（1）张力T>>重力mg；（2）静止时弦位于x轴，横向振动时各点的位移为u(x,t);(3)弦的线密度为；（4）振动是微小的。（5）弦是理想柔软的Tu2考察xxx小段B：2力的平衡方程为：BCx方向：T2cos2T1cos101y方向

2、：T2sin2T1sin1(s)uttAT1因弦作无限小振动，o故有近似：xx+xx南京大学超导电子学研究所2u3tgxuusin01tg2u2xx1x211ucos101tg2u2x1x222us(x)(u)x1x南京大学超导电子学研究所3TT0（x方向）运动方程21成为：T2ux

3、xxxT1ux

4、xx(x)utt（y方向）

5、Tu

6、u

7、xxxxxxxuttxT2x0,a2u(x,t)2u(x,t)2a022tx2uau0ttxx南京大学超导电子学研究所4如果，弦受到线密度为F(x,t)的横向力作用，则弦的受迫振动方程为：22u(x,t)Tu(x,t)F(x,t)22tx（二）均匀杆的纵振动物理规律：牛顿运动定律，弹性规律假定：（1）静止时杆位于x轴，纵向振动时各点的位移为u(x,t);(2)杆的密度为，Young模量为Y；xx+x（3）振动是无限小的。ABCuu+u南京大学超导电子学研究

8、所51、应力－应变关系张应变u(xx,t)u(x,t)ulimx0xx张应力—张应变uP(x,t)Yx——虎克定律2、牛顿运动律SxuP(xx,t)P(x,t)Stt1P(xx,t)P(x,t)uttxx0,南京大学超导电子学研究所61Puttx均匀材料1uY2uuttYuxxttx22Ya2uau0ttxx如果，杆受到线密度为F(x,t)的纵向力作用，则杆的受迫振动方程为：22u(x,t)Yu(x,t)F(x,t)

9、22tx南京大学超导电子学研究所7可见：两个方程具有相同的形式，可以写成统一的形式：22u(x,t)2u(x,t)a022tx式中TYa或者a以后将看到，a是波在弦上（横波）或杆中（纵波）传播的速度。南京大学超导电子学研究所83.传输线方程（电报方程）根据物理学知识，在非常长的两条平行传输线（或同轴电缆）的输入端加上交流电压源时，线间电压和线上电流的分布可由图9.3所示的等效电路求得【13】，图中LRCG,,,分别代表往返线路单位长度的电感、电阻、静电电容和漏电导（或称为线间电漏）．若设传输线（或电

10、缆）是均匀的，则这些值可视为常数．南京大学超导电子学研究所由于输入端是交变电压，所以电压及电流将沿着传输线的长度x变化,通常还是时间t的函数．下面我们来建立分布于传输线上的电压v(,)xt与电流ixt(,)所满足的方程．设某瞬间在传输线上距离始端为x处的电压为v(,)xt,电流为ixt(,).对dx小段回路进行分析，利用基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律，便得出i(RiL)dxvv(xd,)xt(,)0xtt南京大学超导电子学研究所i其中(RiL)dx表示在dxtix,t()ix(+,dxt)段电阻和电

11、感产生的电RxdLxdv(x+d,)xtCxdv(,)xt压降，令Gxdd0x，并注意到v(xd,)xtv(,)xtvdx,则可得xivxxx+dRiL0tx图9.3111(9.1.13)同样电流ixt(,)由点x流到点(xxd)时也有变化，因为有一部分电流将流向分支中的电导与电容．根据基尔霍夫第一定律，流入x节点的电流的总和应该等于从节点流出的电流的总和．另一方面，流经分支电容及电导的电流分别为南京大学超导电子学研究所vCxd及(d)Gxv，因此tv[(d)Cx(d)][(Gxvixd,)

12、xtixt(,)]0t同样令d0x，并注意到ix(d,)xtixt(,)ixxd，则可得viCGv+0(9.1.14)tx分别对式（9.1.13）和式（9.1.14）求x偏导2i数和t的偏导数，再将这两式消去项，并利用公xt式(9.1.14)即