《数学物理定解问题》PPT课件

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1、第三篇数学物理方程所谓数学物理方程，主要是指物理学和工程科学与技术中导出的，反映物理量之间关系的偏微分方程(和积分方程).本篇主要介绍三类典型的二阶线性偏微分方程：波动方程、热传导方程和稳定场方程及有关定解问题的几种常见解法基本概念第九章数学物理定解问题偏微分方程作为一门数学分支，它是人们在对一些物理问题，如弹性体的振动、电磁波的传播、热的传导等物理现象进行研究后总结出来的.人们通过研究这些物理现象，总结它们的物理规律，并将物理规律转化为数学的形式，就得到了偏微分方程.由于偏微分方程是从物理问题中归结出来的，所以也称之为数学物理方程，简称数理方程.在数学上，也称数理方程为泛定

2、方程.由于偏微分方程反映的是同一类物理现象的共同规律，所以仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性.就物理现象来说，各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的特定条件，即初始条件和边界条件.在数学上，初始条件和边界条件合称为定解条件.偏微分方程用来描述同一类物理现象的共性，是解决问题的依据，定解条件则反映了具体问题的个性，指出了问题的具体情况.泛定方程和定解条件合为一体，就称为数学物理定解问题.数学物理方程这一部分的任务就是：在定解条件下，求解泛定方程.§9.1数学物理方程的导出§9.2定解条件§9.3二阶线性偏微分方程的分类与化简§9.4行波法和D’Alembe

3、rt公式章节安排第一节数学物理方程的导出一、波动方程假设有一根均匀且柔软的弦，沿水平方向紧绷，给它一个很小的横向扰动，使弦在铅直平面内作微小横振动，求弦上各点的振动情况，即弦上任意一点在任意时刻的横向位移.弦的振动是一种机械运动，机械运动的基本定律是质点力学的，然而弦并不是质点，所以对整根弦并不适用.但是，如果我们把整根弦细分为许多极小的小段，并将每个小段抽象为一个质点，这样我们就可以应用质点力学的基本定律了。1.均匀弦的微小横振动为了简化计算，我们假设弦的重量很轻，重力相对于弦的张力来说可以忽略不计，从而将整根弦抽象为没有质量的弦.图9.1.1均匀弦的微小横振动由于B段是任

4、选的，所以方程（7）适用于弦上各点，（7）式即为整根弦的微小横振动方程，我们称之为弦的受迫振动方程如果弦在振动过程中是自由的（即不受外力作用），，从而得到弦的自由振动方程（8）方程(7)与(8)的差别在于(7)的右端多了一个与未知函数无关的项,这个项称为自由项.含有非零自由项的方程称为非齐次方程,自由项恒等于零的方程称为齐次方程.方程(7)为一维非齐次波动方程,方程(8)为一维齐次波动方程.2．杆的纵振动假设有一根均匀且具有弹性的杆，杆的每单位长度上单位横截面积所受纵向外力为，杆在此力的作用下做微小纵振动，求杆上各点的振动情况.图9.1.2杆的纵振动这就是杆的受迫纵振动方程虽

5、然杆的纵振动与弦的横振动机理并不完全相同，但它们所满足的偏微分方程的形式却是完全一样的，这是因为他们满足同一类物理规律.我们将用来描述所有连续介质（弦、杆、膜、气体、电磁场等）振动过程的方程统称为波动方程，换句话说，波动方程可用来描述振动过程.弦的横振动方程和杆的纵振动方程中的空间坐标是一维的，更一般的，三维空间中的波动方程为（11）其中,（12）为Laplace算符二．热传导方程假设有一块热的物体，如果体内各处的温度是不均匀的，那么热量就会从温度高的地方向温度低的地方传递，这种现象就是热传导.由于热量的传递过程总是表现为温度随着时间和点的位置的变化而变化，所以，解决热传导问

6、题就要归结为求物体内温度的分布.热传导方程的推导方法和波动方程的推导方法是类似的，不同之处只是在于具体的物理规律不同.这里要用到的是热学方面的两个基本规律：能量守恒定律和热传导的Fourier定律首先简单介绍一下Fourier定律（13）（14）即负号表示热流方向与温度的变化方向相反现在我们来研究三维各向同性介质中的热传导方程图9.1.3热传导根据能量守恒定律,并得热传导方程如果介质内没有热源，则热传导方程简化为（17）与热传导类似，由于物质浓度的不均匀而导致粒子扩散的输运过程也可以通过方程（16）或（17）来描述，我们称这一类方程为热传导方程或输运方程。从物理的观点来看，输

7、运方程是用来描述输运过程的，当我们研究热的传导、粒子的扩散、粘性液体的流动等物理现象时，就会得到输运方程.三．稳定场方程在热传导问题中，在一定条件下，当物体的温度达到稳恒状态（不随时间的变化而变化）时，温度分布所满足的热传导方程就会转化为Poisson（泊松）方程或者Laplace方程（18）（19）Poisson方程和Laplace方程统称为稳定场方程.稳定场方程可以用来描述一切稳定的物理状态，如稳定的电场和磁场、不可压缩液体的位流、稳定热场等等.最后指出，量子力学中描述微观粒子运动的薛定谔方程（20