数学物理方法定解问题ppt课件.ppt

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1、第二篇数学物理方程MathematicalEquationsforPhysics想要探索自然界的奥秘就得解微分方程——牛顿重点1、从实际问题中建立数学物理方程的基本方法；2、系统的边界条件和初始条件的写法。第一章数学物理方程的定解问题1数学物理思想数学物理方程（简称数理方程）是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方程．数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的许多物理现象和普遍规律.2声振动是研究声源与声波场之间的关系热传导是研究热源与温度场之间的关系泊松

2、（S.D.Poisson1781～1840，法国数学家）方程表示的是电势（或电场）和电荷分布之间的关系定解问题从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场和产生这种场的源之间的关系．3多数为二阶线性偏微分方程振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程热传导问题和扩散问题满足热传导方程静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程一、数学物理方程---泛定方程:物理规律的数学表示物理规律物理量u在空间和时间中的变化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。数学语言翻译泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关

3、。4二、边界问题---边界条件体现边界状态的数学方程称为边界条件三、历史问题----初始条件体现历史状态的数学方程称为初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件→不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。定解问题的完整提法：在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的特殊性，即个性。泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。它反映了问题的共性。5具体的问题的求解的一般过程：1、根据系统的内在规律

4、列出泛定方程——客观规律2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和初始条件——求解所必须用的3、求解方法——行波法、分离变量法等分离变量法偏微分方程标准的常微分方程标准解，即为各类特殊函数三类数学物理方程的一种最常用解法61.1数学模型(方程）的建立建模步骤：1、确定表征过程的物理量u（代求函数）；2、从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部分与它的关系及相互作用，用含u的算术式表达此作用；3、对算式进行化简得到最终方程，此方程为某一类物理过程的通用方程（泛定方程）。78模型（方程）类型：1、波动方程（描述振动和波动特征

5、）；2、热传导方程（反映输运过程）；3、泊松方程及拉普拉斯方程（反映稳定过程）。（一）均匀弦横振动方程(一维波动方程）弦的横振动设：均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动u(x,t):坐标为x的点在t时刻沿垂线方向的位移求：细弦上各点的振动规律波动方程的导出9建立方程（1）确定物理变量位移u(x,t)（2）系统中取一小部分，分析临近部分与之关系（建立等式）10选取不包括端点的一微元(x,x+dx),弦长dx，研究对象:(4)设单位长度上弦受力，力密度为：简化假设：(1)弦是柔软的(不抵抗弯曲),张力沿弦的

6、切线方向(2)振幅极小,张力与水平方向的夹角1和2很小，仅考虑1和2的一阶小量，略去二阶小量(3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略。质量线密度，u(x)u+uu012T2T1xx+xF11弦的原长：振动拉伸后：u(x)u+uu012T2T1xx+xBF弦长dx，质量线密度，B段的质量为m=dx12核心等式关系：牛顿第二定律F=ma13沿水平方向，不出现平移受力分析：u(x)u+uu012T2T1xx+xBF（1）分竖直和水平方向考虑由（1）式可得弦中各点的张力相等在微小振动近似下：即张力为常

7、数，记为T14沿竖直方向15u(x)u+uu012T2T1xx+xBF对于小振动，有竖直方向上满足牛顿第二定律：由前知弦长Δx(dx），质量线密度，质量为m=Δx16综合前式，有上式即为通过核心等式关系建立的研究对象u(x,t)所满足的方程式。（3）对等式进行化简得到最终方程（泛定方程）17其中令Δx→0，得到（2）（2）式即为弦的自由横振动方程（齐次方程）。18若有外力作用在弦上，方向垂直于x轴，设其力密度为F（x，t），由于弦段很小，其上各点外力近似相等，故该段所受外力为19此时竖直方向上的牛顿第二定律为同样利用

8、前面关系代换，有两边约去Δx，并令Δx→0，得到其中（3）（3）式为弦的强迫振动方程（非齐次方程）。20波动方程可统一表示为：21类似可得到二维波动方程（薄膜振动）和三维波动方程（电磁波、声波的传播）：其中Δ为拉普拉斯算子，f=0时为齐次方程，f≠0时为非齐次方