数学物理方法期末复习7-13南京大学数学物理方法课件

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1、数学物理方法复习课第七章数学物理定解问题数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛定方程）和定解条件。一般方法：第一确定所要研究的物理量u；第二分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律,抓住主要矛盾,忽略次要矛盾；第三然后再把物理量u随时间，空间的变为通过数学算式表示出来,此表示式即为数学物理方程。数学物理方法复习课常见实际问题：1.均匀弦的微小横振动2.均匀杆的纵振动3.传输线方程4.扩散方程5.稳定温度分布6.热传导方程7.均匀薄膜的微小横振动8.电磁波方程9.稳定浓度分布10.静电场数学物理方法复习课（一）三类典型的数学物理方程2u2三维:

2、auf(r,t)2t22u2u一维:af(x,t)（1）波动方程：t2x2当无外力时:f0此方程适用于各类波动问题。（特别是微小振动情况.）数学物理方法复习课u2三维:auf(r,t)t2u2u一维:af(x.t)（2）输运方程：2tx无外源时:f0此方程适用于热传导问题、扩散问题。数学物理方法复习课拉氏方程:u0（3）Laplace方程：泊松方程:uf(r.t)f0时泊松方程退化拉氏方程.稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace方程,静电势u在电荷密度为零处也满足Laplace方程。数学物理方法复习课§

3、7.2定解条件定解条件包含初始条件与边界条件。（1）初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数的次数。例如波动方程应有二个初始条件,一般选初始位移u（x,o）和初始速度ut（x,0）。而输运方程只有一个初始条件选为初始分布u（x,o）,而Laplace方程没有初始条件。（2）三类边界条件第一类边界条件：u(r,t)

4、Σ=f（1）第二类边界条件：un

5、Σ=f（2）第三类边界条件：(u+Hun)

6、Σ=f（3）其中H为常数.数学物理方法复习课7.4达朗贝尔公式对一维无界的波动方程,当不考虑外力时,定解问题为22u2ua022txux,0xux,0xt

7、11xat解为:ux,txatxatd22axat数学物理方法复习课第八章分离变量法8.1分离变量法主要步骤:1.边界条件齐次化,对非齐次边界条件首先把它化为齐次的.2.分离变量u(x,t)=X(x)T(t)（1）3.将（1）式代入原方程得出含任意常数λ的常微分方程,(称为本征方程)而λ为本征值.4.由齐次边界条件确定本征值,并求出本征方程.(得出的解为本征函数)5.根据迭加原理把所有满足方程的线性无关解迭加后,就能得通解.6.再由初始条件确定系数.数学物理方法复习课一维波动方程在第一类齐次边界条件下的natnatn

8、x通解:ux,tancosbnsinsin,1n1lllnx代入边入边界:ux,0ansinx,2n1ll2nasind,3nll0l2n同样:bsind,4nnal0数学物理方法复习课一维波动方程在第二类齐次边界条件下的通解:natnatnxux.tA0B0tAncosBnsincos,5n1lllll11Ad,Bd.600ll00ll2n2nAcosd,Bcosd.7nnl

9、lnal00数学物理方法复习课一维扩散方程在第一类齐次边界条件下的通解:2natnxlux,tcnesin,8n1ll2ncsind,9nll0数学物理方法复习课一维扩散方程在第二类齐次边界条件下的通解:2natnxlux,tcnecos,10n0lll12ncd,ccosd,110nlll00对其他的齐次边界条件,如本征函数已知也可直接求解,而对本征函数不熟则只能用分离变量法来求解.数学物理方法复习课8.2非齐次边界条件的处理常用方法有1)直线法:对

10、边界条件为:u(0,t)=g(t),u(L,t)=h(t).htgt令vx,tux,tgtx,可把边界条件化为齐次,但一般情况下L方程变为非齐次.•只有当g,h为常数时,方程才不变.数学物理方法复习课2)特解法：把u化为两部分,令u=v+w使v满足齐次边界条件与齐次方程,而使w满足齐次方程与非齐次边界条件.下面通过实例来介绍此方法.例题，求解下列定解问题Utt－a2Uxx=0U

11、x=0=0,U

12、x=L=ASinωtU

13、t=0=0,Ut∣t=0=0•(其中A、ω为常