数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--15章

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2、；α→0∫01+x2+α21dx（2）lim。n→∞∫0xn⎛⎞1+⎜1+⎟⎝n⎠解（1）由积分中值定理，可得1+αdx1dx1+αdx∫022=∫022+∫1221+x+α1+x+α1+x+α1dxα=∫022+22（ξ在1与1+α之间），1+x+α1+ξ+α于是1+αdx1dxααlim→0∫022=lim0∫022+lim221+x+αα→1+x+αα→01+ξ+α11π=∫dx=。01+x24www.khdaw.com（2）由连续性定理，−x1dx1dx1de2elimn→∞∫0n=∫0x=−∫0−x=ln。⎛x⎞

3、1+e1+e1+e1+⎜1+⎟⎝n⎠2．设f(x,y)当y固定时，关于x在[a,b]上连续，且当y→y0−时，它关于y单调增加地趋于连续函数φ(x)，证明课后答案网bblim∫af(x,y)dx=∫aφ(x)dx。y→y0−证若能证明limf(x,y)=φ(x)关于x∈[a,b]是一致的，即∀ε>0，y→y0−∃δ>0，∀y∈(y0−δ,y0)，∀x∈[a,b]：f(x,y)−φ(x)<ε，则bb∫(f(x,y)−φ(x))dx≤∫f(x,y)−φ(x)dx<(b−a)ε，aa就有bblim∫f(x,y)dx=∫φ(x)d

4、x。y→y0−aa以下用反证法证明limf(x,y)=φ(x)关于x∈[a,b]是一致的。y→y0−若不然，则∃ε0>0，∀δ>0，∃y∈(y0−δ,y0)，∃x∈[a,b]：1f(x,y)−φ(x)≥ε0。依次取δ1=1，∃yyy101∈−(,δ0)，∃x1∈[,]ab：fxy(,)()11−φx1≥ε0；⎧⎫1δ20=−min⎨⎬,yy1，∃∈−yyy202(,δ0)，∃x2∈[,]ab，fxy(,)()22−≥φx2ε0；⎩⎭2??⎧⎫1δnn=−min⎨⎬,yy01−，∃∈−yyynn(,00δ)，∃xn∈[,]a

5、b，fxy(,)()nn−≥φxnε0；⎩⎭n??。由此得到两列数列{}xn,{yn}。由于{xn},{yn}有界，由Bolzano-Weierstrass定理，存在收敛子列{xn},{yn}，为叙述方便，仍记这两个kk子列为{}{}xn,yn，其中{}yn是递增的，limyyn=0。设limxn=ξ。n→∞n→∞由f(ξ,y)→φ(ξ()y→y0−)，可知∃δ>,0∀yy(0−<−<δy0)：ε0f(ξ,y)−φ(ξ)<，2注意limyn=y0，取足够大的K使得−δ<−

6、<。2又f(x,yK)−φ(x)在x=ξ点连续以及limxn=ξ，∃N>,0当n>N时，n→∞成立www.khdaw.comε()()0f(xn,yK)−φ(xn)−f(ξ,yK)−φ(ξ)<，2于是f(xn,yK)−φ(xn)<ε0。但是对固定的xn，当y→y0−时，f(xn,y)关于y单调递增地趋于φ(xn)，所以当n>max{N,K}时，成立课后答案网f(xn,yn)−φ(xn)≤f(xn,yK)−φ(xn)<ε0，这与f(xn,yn)−φ(xn)≥ε0，(n=,2,1?)矛盾。3.用交换积分顺序的方法计算下列积分：

7、ba1⎛1⎞x−x（1）∫sin⎜ln⎟dx(b>a>)0；0⎝x⎠lnxπ1+asinxdx（2）∫2ln1(>a>)0。01−asinxsinxba1⎛1⎞x−x1⎛1⎞byb1y⎛1⎞解（1）∫0sin⎜ln⎟dx=∫∫0sin⎜ln⎟dxaxdy=∫∫ady0xsin⎜ln⎟dx，⎝x⎠lnx⎝x⎠⎝x⎠1y⎛1⎞1y+1⎛1⎞111y⎛1⎞∫xsin⎜ln⎟dx=xsin⎜ln⎟+∫xcos⎜ln⎟dx0⎝x⎠y+1⎝x⎠0y+10⎝x⎠211y⎛1⎞=∫xcos⎜ln⎟dxy+10⎝x⎠1y+1⎛1⎞111y⎛

8、1⎞=2xcos⎜ln⎟0−2∫0xsin⎜ln⎟dx，(y+)1⎝x⎠(y+)1⎝x⎠于是1y⎛1⎞1，∫0xsin⎜ln⎟dx=2⎝x⎠1+(y+)1所以ba1⎛1⎞x−xbdy∫0sin⎜ln⎟dx=∫a2=arctan(1+b)−arctan(1+a)。⎝x⎠lnx1+(y+)1πππ1+asi