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《数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--13章new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第十三章重积分习题13.1有界区域上的重积分1.设一平面薄板（不计其厚度），它在xy平面上的表示是由光滑的简单闭曲线围成的闭区域D。如果该薄板分布有面密度为µ(,)xy的电荷，且µ(,)xy在D上连续，试用二重积分表示该薄板上的全部电荷。解设电荷总量为Q，则Q=∫∫µ(x,y)dσ。D2.设函数fxy(,)在矩形D=,0[π]×]1,0[上有界，而且除了曲线段yxx=≤sin,0≤π外，fxy(,)在D上其它点连续。证明f在D上可积。证设f(x,y)≤M(,x,y)∈D，将D用平行于两坐标轴的直线分成n个小区域∆Di(i=,2,1",n)，记λ=maxdiam{∆Di}，不妨设∆Di
2、(i=,2,1",k)将曲1≤≤inn线段yxx=≤sin,0≤π包含在内，于是fxy(,)在有界闭区域∪∆Di上连i=k+1nwww.khdaw.com续，因此fxy(,)在∪∆Di上可积，即∀ε>,0∃δ1>0，当λ<δ1时，i=k+1nε∑ωi∆σi<。i=k+12ε而当λ<时，4kMkkε∑ωi∆σi<2M∑∆σi<2kMλ<。课后答案网i=1i=12⎛ε⎞取δ=min⎜δ1,⎟，当λ<δ时，就有⎝4kM⎠nεε∑ωi∆σi<+=ε，i=122所以在fD上可积。3.按定义计算二重积分∫∫xydxdy，其中D=]1,0[×]1,0[。D2解将D分成n个小正方形⎧i−1ij−1j
3、⎫∆Dij=⎨(x,y)≤x≤,≤y≤⎬i,(j=,2,1"n)，⎩nnnn⎭1ij取ξi=,ηj=，则nnnn1∫∫xydxdy=lim∑ξiηj∆σij=lim4∑ijn→∞n→∞nDi,j=1i,j=111221=lim⋅n(n+)1=。n→∞n4444.设一元函数f(x)在[a,b]上可积，D=[a,b]×[c,d]。定义二元函数F(x,y)=f(x)，(x,y)∈D。证明F(x,y)在上可积。D证将[a,b]、[c,d]分别作划分：a=x04、j=,2,1",m)。记ωi是f(x)在小区间[xi−1,xi]上的振幅，ωij(F)是F在∆Dij上的振幅，则ωij(F)=ωi，于是nnn∑∑ωσωij()Fx∆=iji∆∆=−iyj(dc)∑ωi∆xi，ij,1==ij,1www.khdaw.comi=1n由f(x)在[a,b]上可积，可知∑ωi∆xi→0(λ→)0，所以i=1nn⎧⎫lim∑ωσij()F∆=ijlim(⎨⎬dc−)∑ωii∆=x0，λ→0λ→0ij,1=⎩⎭i=1即F(x,y)在上可积。D5．设是2DR上的零边界闭区域，二元函数f(x,y)和g(x,y)在上可积。D证明课后答案网H(x,y)=max{f(x
5、,y),g(x,y)}和h(x,y)=min{f(x,y),g(x,y)}也在上可积。D证首先我们有1H(x,y)=()f(x,y)+g(x,y)+f(x,y)−g(x,y)，21h(x,y)=()f(x,y)+g(x,y)−f(x,y)−g(x,y)。22设ϕ(x,y)=f(x,y)−g(x,y)，将D划分成n个小区域∆Di(i=,2,1",n)，利用不等式a−b−c−d≤(a−b)−(c−d)≤a−c+b−d，可得ωi(ϕ)≤ωi(f)+ωi(g()i=,2,1",n)，于是ωi(H)≤ωi(f)+ωi(g()i=,2,1",n)，所以nnn0≤∑ωi(H)∆σi≤∑ωi(f)∆
6、σi+∑ωi(g)∆σi，i=1i=1i=1由f,g在D上可积，可知nlim∑ωi(H)∆σi=0，λ→0i=1即H(x,y)=max{f(x,y),g(x,y)}在上可积。D类似地可得www.khdaw.comωi(h)≤ωi(f)+ωi(g()i=,2,1",n)，从而得到h(x,y)=min{f(x,y),g(x,y)}在D上也可积。课后答案网3习题13.2重积分的性质与计算1．证明重积分的性质8。证不妨设g(x)≥0，M、m分别是f(x)在区域Ω上的上确界、下确界，由mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)、性质1和性质3，可得m∫g(x)dV≤∫f(x)g(x)dV≤M∫g
7、(x)dV，ΩΩΩ当∫g(x)dV=0，积分中值定理显然成立。当∫g(x)dV≠0，则ΩΩ∫f(x)g(x)dVΩm≤≤M，∫g(x)dVΩ所以存在µ∈[m,M]，使得∫f(x)g(x)dVΩ=µ，∫g(x)dVΩ即∫f(x)g(x)dV=µ∫g(x)dV。ΩΩ如果在有界闭区域fΩ上连续，由介值定理，存在ξ∈Ω，使得www.khdaw.comf(ξ)=µ，所以∫f(x)g(x)dV=f(ξ)∫g(x)dV。ΩΩ2．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：2
