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《数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--4章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四章微分习题4.1微分和导数⒈半径为1cm的铁球表面要镀一层厚度为0.01cm的铜，试用求微分的方法算出每只球需要用铜多少克？（铜的密度为8.9g/3。）cm43解球体积V=πr，每只球镀铜所需要铜的质量为32m=ρ∆V≈4ρπr∆r≈.112g。⒉用定义证明，函数yx=32在它的整个定义域中，除了x=0这一点之外都是可微的。证当x=0时，∆y=3∆x2是∆x的低阶无穷小，所以yx=32在x=0不可微。当x≠0时，www.khdaw.com32233333∆=yxxxxxxxxx()+∆−=(+∆+)(+∆−)33xx
2、x+∆+2=∆x=∆xox+()∆,3()xx2233xxxx333x+∆++∆+所以yx=32在x≠0是可微的。课后答案网57习题4.2导数的意义和性质1．设fx′()存在，求下列各式的值：0fx()−∆xfx−()⑴00；lim∆x→0∆xfxfx()−()⑵0lim；xx→0xx−0fxhfxh()()+−−⑶00。limh→0hf(x−∆x)−f(x)f(x+(−∆x))−f(x)0000解(1)lim=−lim=−f('x)。0∆x→0∆x∆x→0(−∆x)f(x)−f(x)f(x+(x−x))−f(x)⑵00
3、00lim=lim=f('x)。0x→x0x−xx−x0→0x−x00f(x+h)−f(x−h)⑶00limh→0hf(x+h)−f(x)f(x−h)−f(x)0000。=lim−lim=2f('x)0h→0hh→0hwww.khdaw.com2．⑴用定义求抛物线yxx=232+−1的导函数；⑵求该抛物线上过点(,)−12−处的切线方程；⑶求该抛物线上过点(,)−21处的法线方程；⑷问该抛物线上是否有(,ab)，过该点的切线与抛物线顶点与焦课后答案网点的连线平行？22∆y(2x+∆x)+(3x+∆x)−1−2(x+3x−
4、)1解(1)因为==4x+3+2∆x，所以∆x∆x∆yf('x)=lim=4x+3。∆x→0∆x(2)由于f('−)1=−1，切线方程为yx=−⋅−−+−=−−1[(1)](2)x3。17x+(3)由于f('−)2=−5，法线方程为yx=−[(2−−)]1+=。−55(4)抛物线顶点与焦点的连线平行于y轴，即斜率为无穷大，由(1)可58知不存在x，使得f('x)=∞，所以这样的点(,)ab不存在。3．设f(x)为(−∞,+∞)上的可导函数，且在x=0的某个邻域上成立f1(+sinx)−3f1(−sinx)=8x+α(x)
5、，其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小。求曲线y=f(x)在,1(f1())处的切线方程。解记F(x)=f1(+sinx)−3f1(−sinx)，可得limF(x)=−2f)1(=0，即f)1(=0。x→0Fx()8x+α()x由lim==lim8与xx→→00xxF()xfx⎡⎤(1sin)+−fxfx(1)sin⎡(1sin)−−fx(1)sin⎤lim=⋅lim−⋅3lim=4'(1)f，xx→→00xx⎣⎦⎢⎥sinxxx→0⎢⎣sinx⎥⎦得到f)1('=2。于是曲线y=f(x)在,1(f1())处的切线方
6、程为y=(2x−)1。4．证明：从椭圆的一个焦点发出的任一束光线，经椭圆反射后，反射光必定经过它的另一个焦点。（见图4.2.5）www.khdaw.com证设椭圆方程为22xy+=1，a>b>0，焦点坐标为22ab22(±c0,),c=a−b。假设(x,y)为椭圆课后答案网00上任意一点，当y=0时结论显然成立。现设y≠0，则过此点的切线002bxy00斜率为tanθ=−，(x,y)与焦点(−c)0,连线的斜率为tanθ=，2001ayx+c00此连线与切线夹角的正切为tanθ1−tanθ222k=。利用c=a−b和1+
7、tanθtanθ122xy00+=1代入计算，得到22ab592ybx00+2222222222xcay++aybxc+xbabc+xbb000000k====。222222ybx()abxyacy−+cxyacy+cy0000000001−⋅2xcay+00y0(x,y)与另一焦点(c)0,连线的斜率为tanθ=，此连线与切线002x−c0夹角的正切为2bxy00−−2222222222tanθθ−tanayxc−−cxbaybx−cxbab−b2000000。=====k2222221tantan+−θθybx(ab
8、x)ya−cycxya−cycy201−⋅000000002xcay−00由于两个夹角的正切相等，所以两个夹角相等，命题得证。5．证明：双曲线xy=a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的直角三角形的面积恒为2a2。2证假设(x,y)为双曲线上任意一点，则xy=a，过这一点的切线斜00002www.khdaw.comay
