数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--5章

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1、第五章微分中值定理及其应用习题5.1微分中值定理⒈设fx′()>0，fx′()<0，证明x是fx()的极小值点。+0−00证由fx′()>0，可知当δ>0足够小时，若00fxfx()−>()0fx′()<0，可知当δ>00−0xx−0f(x)−f(x0)足够小时，若−δ()0。从而命题得证。02．（Darboux定理）设fx()在(,ab)上可导，x,x∈(,)ab。如果12fxfx′()()⋅

2、′<0，证明在和xx之间至少存在一点ξ，使得f′()ξ=0。1212www.khdaw.com证显然x≠x，不妨设x，则fx′()0<，仿照习题1121212可证存在x<<，同样可证f(x)在[,]xx的最课后答案网1212小值点ξ∈(,)xx，并且成立f′()ξ=

3、0。123．举例说明Lagrange中值定理的任何一个条件不满足时，定理结论就有可能不成立。解[1,1]−上的符号函数sgn()x在x=0不连续，所以Lagrange中值定理ff(1)−−(1)的条件不满足。而=1，不存在ξ∈(1,1),'()1−=fξ。1(1)−−[1,1]−上的绝对值函数

4、x

5、连续，但在x=0不可微，所以Lagrange中值96ff(1)−(1)−定理的条件不满足。而=0，但∀ξ∈−(1,1),ξξ≠0,'()f=±≠10。1(1)−−4.设函数fx()在[,ab]上连续，在(,ab)上

6、可微。利用辅助函数xfx()1ψ()x=afa()1bfb()1证明Lagrange中值定理，并说明ψ()x的几何意义。证显然ψ()ab==ψ()0，并且满足Rolle定理条件。由Rolle定理，在(,)ab内存在一点ξ，使得1'f(ξ)0ψ'()ξξ==afa()1fbafbfa'()(−)[()−−()]=0，bfb()1所以Lagrange中值定理成立。几何意义：以(,()),(,()),(,())xfxafabfb顶点的三角形如果顶点逆时www.khdaw.com针排列，则ψ()x就是三角形面积的两倍

7、，否则－ψ()x就是三角形面积的两倍。5．设函数fx()和gx()在[,]ab上连续，在(,)ab上可导,证明(,ab)内存在一点，使得ξ课后答案网f(a)f(b)f(a)f′(ξ)=(b−a)。g(a)g(b)g(a)g′(ξ)f(a)f(b)f(a)f(x)证令F(x)=(x−a)−(b−a)，则F(a)=F(b)=0，由g(a)g(b)g(a)g(x)Rolle定理，在(,)ab内存在一点ξ，使得f(a)f(b)f(a)f('ξ)F('ξ)=−(b−a)=0。g(a)g(b)g(a)g('ξ)6．设非线

8、性函数fx()在[,]ab上连续，在(,ab)上可导，则在(,ab)上97至少存在一点η，满足fbfa()−()

9、()

10、

11、f′η>

12、，ba−并说明它的几何意义。证由于fx()是非线性函数，所以在(,ab)内至少存在一点ξ，使得(,())ξfξ不在(,()),(,())afabfb的连线上。假设(,())ξfξ在(,()),(,())afabfb的连线的上方，则ff()ξ−−−()af()bf()af()bf()ξ>>，ξξ−−−abab利用Lagrange中值定理，存在ξ∈(,),abξξξ∈(,),使得12

13、fbfa()−()ff'()ξ>>'()ξ，12ba−f()bfa−()所以max{

14、'ff()

15、ξξ,

16、'()

17、}

18、>

19、。当(,())ξfξ在(,()),(,())afabfb的12ba−连线下方时同理可证。www.khdaw.com几何意义：在[,ab]上连续、在(,)ab上可导的非线性函数，必定在某点切线斜率的绝对值大于[,ab]间割线斜率的绝对值。2⎛aa⎞7．求极限limn⎜arctan−arctan⎟，其中a≠0为常数。n→∞⎝nn+1⎠aaarctan−arctan解由Lagrange课后答案网

20、中值定理，nn+11，其中a=ξ位于aa21+ξn+1−nn+1a1与之间。当n→∞时，2趋于1，所以n1+ξ⎛⎞aa⎜⎟arctan−arctan2⎛⎞aana⎝⎠nn+1limn⎜⎟arctan−=arctanlim⋅nn→∞⎝⎠nnn++11→∞aa−nn+1⎛⎞na1=⋅lim⎜⎟=a。2n→∞⎝⎠n++11ξ988．用Lagrange公式证明不等式：⑴

21、sinxyx−≤sin

22、

23、−y

24、;n