数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--7章

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1、第七章定积分习题7.1定积分的概念和可积条件1.用定义计算下列定积分：11⑴;⑵adxx∫0()ax+bdx∫0(a>0).12n−1i解（1）取划分：0<<

2、−an)n1www.khdaw.comni1an1(−a)a−1所以∑an=→，即1i=1nlnan1(−an)1xa−1∫adx=。0lnan⒉证明，若对[,ab]的任意划分和任意ξi∈[,xxii−1]，极限lim∑f(ξi)∆xiλ→0课后答案网i=1都存在，则fx()必是[,ab]上的有界函数。n证用反证法。设lim∑f(ξi)∆xi=I，则取ε=,1∃δ>0，对任意的划分Pλ→0i=1n与任意ξii∈[,x−1xi]，只要λ=max(∆xi)<δ，就有∑f(ξi)∆xi

3、n)也就确定，如果fx()在[,ab]上无i界，则必定存在小区间[,xx]，fx()在[,xx]上无界。取定ii−1ii−1203nξ11,,,,,??ξξii−+1ξn，必可取到ξi，使∑f(ξi)∆xi0，因为是lS的上确界，所以∃S(P′)∈S，使得ε0≤l−S(P′)<。2设划分P′:a=x′

4、⎞δ=min⎜∆x′,∆x′,?,∆x′,⎟，⎜12p⎟⎝(2p−1)(M−m)⎠对任意一个满足λ=max(∆x)<δ的划分i1≤i≤nP:a=x

5、的区间至多只有p−1个。由δ的取法，可知∆x≤δ≤∆x′,i=,2,1?,n,j=,2,1?,p，ij所以在(x,x)中只有一个新插入的分点x′，这时S(P′′),S(P)中的相i−1ij应项的差为[m′(x′−x)+m′′(x−x′)]−m(x−x)≤(M−m)(x−x)<(M−m)δ，iji−1iijiii−1ii−1204ε从而0≤S(P′′)−S(P)<(p−1)(M−m)δ≤。2综合上面的结论，就有εε0≤l−S(P)=[l−S(P′)]+[S(P′)−S(P′′)]+[S(P′′)−S(P)]<+0+=ε，22即limS(P)=l

6、。λ→0⒋证明定理7.1.3。证必要性是显然的，下面证充分性。pε设∀ε>0，存在一种划分P′，使得相应的振幅满足∑ωi′∆xi′<，i=13ε⎛ε⎞即S(P′)−S(P′)<。取δ=min⎜∆x′,∆x′,?,∆x′,⎟，对任意一⎜12p⎟3⎝(3p−1)(M−m)⎠个满足λ=max(∆x)<δ的划分i1≤i≤nP:a=x

7、[S(P′)−S(P′)]+[S(P′)−S(P′′)]+[S(P′′)−S(P)]课后答案网εεε<+0++0+=ε，333由定理7.1.1，可知f(x)在[a,b]上可积。⒌讨论下列函数在[0,1]的可积性：1−[1],x≠,0,1x为有理数,⎧xx⎧−⑴fx()=⎨⑵fx()=⎨⎩,0x=;0⎩,1x为无理数;,0x为有理数,π⎧⎧sgn(sin),x≠,0x⑶fx()=⎨⑷fx()=⎨⎩x,x为无理数;⎩,0x=.0205111解：（1）0(≤0

8、，取定m>，f(x)在区间[]1,上只有有限个不连续点，εm11所以f(x)在[]1,上可积，即存在[]1,的一个划分，使得Pmmnε∑ωi∆xi<，将的分点和P0