数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--14章new

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1、第十四章曲线积分、曲面积分与场论习题14.1第一类曲线积分与第一类曲面积分1.求下列第一类曲线积分：(1)∫(x+y)ds，其中是以LO(,),(,),(,)00A10B01为顶点的三角形；L22(2)∫

2、y

3、ds，其中为单位圆周Lx+y=1；L3/13/23/23/2(3)∫

4、x

5、ds，其中为星形线Lx+y=a；L22222(4)∫

6、x

7、ds，其中为双纽线L(x+y)=x−y；L222(5)∫(x+y+z)ds，L为螺旋线Lxatyatzb==cos,sin,=t,0≤t≤2π的一段：322t12(6)∫xyzds。其中L为曲线

8、x=t,y=,z=t上相应于从t032L变到1的一段弧；2222(7)∫(xy+yz+zx)ds，其中为球面Lwww.khdaw.comxyza++=和平面Lx+yz+=0的交线。解（1）∫(x+y)ds=∫(x+y)ds+∫(x+y)ds+∫(x+y)dsLOAABBO111=∫0xdx+∫0(x+x)2dx+∫0ydy=1+2。2π（2）∫

9、y

10、ds=∫sintdt=4。0L课后答案网（3）令33，则x=acost,y=asintds=3asintcost，于是144π42πx3ds=3a3sintcos2tdt=12a32s

11、intcos2tdt=4a3。∫∫0∫0L⎧⎪x=cos2cosθθ（4）将L表示为参数方程⎨，再利用对称性，就有⎪⎩y=cos2sinθθππ4422∫∫

12、

13、xds=+4cos2cosθθx'yd'θ=4∫cosθdθ=22。00L注本题也可利用的极坐标方程2Lr=cos2θ，得到ππ4422∫∫

14、

15、xds=+4rcosθθθrrd′=4∫cosdθ=22。00L1222（5）∫(x+y+z)dsL2π222222π22222。=∫(a+bt)a+bdt=3(a+4πb)a+b0392122162（6）∫xyzds=∫t1+2t

16、+tdt=。30143L（7）因为在L上成立12222xy+yz+zx=[(x+y+z)−(x+y+z)]，2所以2a3∫(xy+yz+zx)ds=−∫ds=−πa。2LL2.求椭圆周xatybt=cos,=sin,0≤t≤2π的质量，已知曲线在点M(,)xy处的线密度是ρ(,)

17、

18、xy=y。2π2222解质量m=∫ρds=b∫sintasint+bcostdt0Lπ2222=2b∫sinta+(b−a)costdt0⎧2a2ba2−b22⎪2b+arcsin,当a>b⎪a2−b2a。⎪2=⎨4a,当a=b⎪2a2bb+bwww.

19、khdaw.com2−a2⎪22b+ln,当a0内的部分；1(2)锥面222xyz+=被平面x+yzaa+=2(>0)所截的部分；3(3)球面2222包含在锥面22x+y+z=az=x+y内的部分；课后答案网222(4)圆柱面xya+=被两平面x+z=00,(x−z=x>>0,y0)所截部分；(5)抛物面22包含在柱面2222xya+=2z()xy+=2axy(a>0)内的那部分；⎧x=(b+acosφ)cosϕ,⎪(6)环面⎨y=(b+

20、acosφ)sinϕ,02≤φ≤π,02≤ϕ≤π，其中0

21、所截部分的面积为∂(,)uv222。A=++12z′′zdxdy=dxdy=4dudv=83πa∫∫xy∫∫∫∫DDD'2⎧22a⎫（3）这部分球面在xy平面上的投影区域为Dx=+⎨(,)yxy≤⎬，⎩⎭2于是22aA=1+z′+z′dxdy=dxdy∫∫xy∫∫222DDa−x−ya2πa2=∫dθ∫2rdr=2(−)2πa。0022a−r22（4）圆柱面方程可写成y=a−x，区域Dz={(,)xxzxxa−≤≤,0≤≤}，于是www.khdaw.comaaax222A=++12y′′ydzdx=dzdx=dxdz=a。∫∫xz

22、∫∫22∫0∫−x22DDax−−ax222222（5）方程()xy+=2axy可化为极坐标方程r=asin2θ，于是2222x+yA=21+z′+z′dxdy=21+dxdy∫∫xy∫∫2aDDππ22asin2θ222223=∫0d课后答案网θ