若干上环性质的研究

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1、曲阜师范大学硕士学位论文若干上环性质的研究摘要很长时间以来，环上的模理论和余代数，双代数上的余模理论，始终独立的发展着．上环的出现弥补了这个缺陷：分次模，Hopf模，Yetter-Drin拈ld模，缠绕模和弱缠绕模都是上环上的一种特殊的余模，从而可以将模理论更好的应用到余模上去．不仅如此，利用上环还可以研究这些模范畴之间的函子的许多性质．为此在本世纪初，上环及其余模再次成为研究热点，有着重要的研究价值．早在1975年，MSweelder在『91中证明环上的第一伽罗华理论时第一次引进了上环的概念，

2、上环是有单位元的结合环A上的余代数且为A—A双模，有余积和余单位．1998年，MTakeuchi在f101中发现也可以用缠绕结构来解释上环．2002年，T．Brzezinski在[20l中构造了几个新的上环的例子，从更广泛的角度研究了上环的结构及性质，并进一步探讨了伽罗华扩张中的上环一伽罗华上环．2003年，L．EIKaoutit和J．Gomez—Torrecillas在f71中研究了伽罗华上环及其余模，得到了许多有意义的性质．因为余代数是代数的对偶，所以上环可看作是环的对偶．本文主要介绍了上环

3、的对偶一c一环，c是一个余代数，一对其结构进行了分析和研究，将上环中的许多性质在C一环中做了推广，得到了一定的结论．本文共分为五章．第一章，绪论部分，简要介绍了研究的问题及问题的研究背景．第二章，预备知识，分为四节．给出了上环中基本的概念和结论；上环中的伽罗华理论以及一类特殊的上环：余矩阵上环．第三章，首先我们介绍了上环的对偶概念，C一环．研究了C一环的结构，并构造了c一环的几个例子．其次，我们研究了c一环中的两个主要函子：忘却曲阜师范大学硕士学位论文函子F：MA—}MG和导出函子一口e一4：M

4、G—斗M^．我们将上环中的许多性质进行推广，得到了这两个函子可分的一些有意义的性质．在第四章中，上环与缠绕模范畴之间有着密切的联系，对应的C一环与缠绕范畴之间也有类似的联系．首先，我们介绍了缠绕结构(A，e，妒)及其模范畴，从而得到了c一环4=GoA，并且得到了^“iM(妒)身．我们还利用上环进一步研究了缠绕模(A，C，妒)与伽罗华余扩张之间的内在联系．其次，我们介绍了右一右弱缠绕结构(A，G，妒R)及相关的投射珞，构造了对应的C一环一4=，m珏，得到弱缠绕模范畴与A上的模范畴之间的关系：MA；

5、M(惦)g．类似的，我们简单研究了左一左弱缠绕结构(A，e，钆)及相关的投射兄，其对应的c一环8=，m兄，得到了^“兰譬M(帆)在第五章中，我们在2．4节的基础上，介绍了余矩阵上环的对偶定义一矩阵G一环，研究了矩阵G一环中相关的函子，以及伽罗华理论在矩阵Cr一环中的应用，将余矩阵上环中的许多结论进行了推广．关键词G一环可分函子伽罗华G一环A一伽罗华余扩张伽罗华A模主模余可分上环可分e一环拟有限内射子ll曲阜师范大学硕士学位论文THESTUDYoNSoMEPRoPERTIESoFCORINGABS

6、TRACTFbralongperiod，thetheoryofmodulesoVerringsontheone8ideandco—modulesandHopfmodulesforcoalgebrasandbiaIgebrasontheothersidede—velopedquiteindependently．Whencoringcameup，thisgaprealised．Gradedmodules，Hopfmodules，Longdimodules，1Yetter—Drinfeldmodule

7、s，entwinedmodulesandweakentwinedmodule8arespecialcasesofcomodulesoveracoring，somoduletheorycanbeappliedtoenrichthetheoryofcomodulesandviceversa．CoringcanalsobeusedtostudypropertiesoffhnctorsbetweencategoriesofthesemodulesForall，Coringbecomeanobjectth

8、atisbeingpaiedcloseattentiontobyalJ驴bra8cholars．In1975，coringswereintroducedbyM．sweedlerin[9]，togiveaformula—tionofapredualoftheJacobsoⅡ一Bourbakistheoremforintermediateexten—sionsofdivisionringextensions．AcoringoVeranassociativeringwithunitisacoalgeb