2011水木艾迪冲刺微积分上(三十六技之7-10)-new

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1、2010考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话：6278004015810102026教学与命题研究中心清华大学数学系教授刘坤林俞正光谭泽光葛余博叶俊章纪民考研数学三十六技微积分上（三十六技之7-10）清华大学数学科学系刘坤林主讲三十六技之七：正确运用定积分性质，处理变限积分与含参积分的技巧积分定义四部曲，理解到位很重要。积分性质多醒悟，保序性质须知道。估值比较是推论，重要场合常用到。积分极限交叉题，需要脱掉积分号。积分式内有参数，处理方法有技巧。定积分的重要性质性质包括：积分的保序性（估值定理与比较性质）与中值定理、变限积分

2、的连续性与可导性，还有变限积分的处理技巧，这些概念与方法广泛用于与积分有关的极限问题、等式与不等式证明等综合分析题目中。关于变限积分的两个重要结论（两把快刀）：(1)若f(x)在[a,b]上可积（常用的充分条件为：f(x)在[a,b]x上连续或分段连续）,则变上限积分F(x)=∫f(t)dt定义a的函数在[a,b]上连续。[注]此时F(x)不一定可导，因此F(x)不一定是f(x)在[a,b]上的原函数。x(2)若f(x)在[a,b]上连续,则变上限积分F(x)=∫ft)(dt定ad⎛x⎞义的函数在[a,b]上可导,且⎜∫f(t)dt⎟=

3、f(x)。同时，dx⎝a⎠b变下限积分∫f(t)dt也是可导函数。且xd⎛b⎞⎜∫f(t)dt⎟=−f(x)。dx⎝x⎠【注】此时F(x)一定是f(x)在[a,b]上的一个原函数。x例7-1设f(x)∈C(−∞,+∞)，f(x)≥0且f(x)=∫f(t)dt，则0对f(x)在,0[+∞)上错误的结论为（）。(A)可微。(B)f(x)严格单调增加。(C)有任意阶导数。(D)恒等于零。【解】答案(B)。(A)(C)显然正确。因为f(x)∈C(−∞,+∞)，且xf(x)=∫f(t)dt，所以f(x)可导，且f′(x)=f(x)，解得0赛尔教育

4、—水木艾迪考试培训网:www.tsinghuatutor.com清华大学东门清华科技园科技大厦B座18层圆圆工作室http://bz10.5d6d.com友情提示：购买原版，饮水思源！2010考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话：6278004015810102026教学与命题研究中心清华大学数学系教授刘坤林俞正光谭泽光葛余博叶俊章纪民x0f(x)=Ce。由f)0(=∫f(t)dt=0，解出C=f)0(=0，因0此f(x)≡0。因此(D)正确。处理含有参数积分问题的重要技巧（两把快刀）：积分号内含有参数的问题是一类重要题型，

5、这类问题往往需要对参数求导数。典型方法有两个（积分式内有参数，处理技巧有快刀）：（1）当参数以因子形式出现在积分号内时，则将含参数的因子移到积分号外面，（2）如无法将含参数的部分移到积分号外面，则引入变量替换。例7-2（2005-2-15：11分）设函数f(x)连续，且f)0(≠0，求x∫(x−t)f(t)dt0极限limxx→0x∫f(x−t)dt0【解析与点评1】本题主要考点是：（1）含参积分处理方法；（2）极限分析计算与罗必达法则；（3）变限积分求导数；（4）积分中值定理。水木艾迪考研辅导班教学中含有不少此类例题，可参见基础班综合

6、辅导第2讲例2.21，例2.25,例2.27,水木艾迪考研辅导暑期强化班第4讲例39-43，例55-56等例题，系列教材《2005考研数学应试导引与进阶》中也有许多这样的典型例题和方法，如例6.74,例6.78，例7.22等。刘坤林等编写，清华大学出版社2004年7月出版。【解】首先取变换u=x−t，则x0xx∫0f(x−t)dt=∫xf(u)d(−u)=∫0f(u)du=∫0f(t)dt，xxx∫(x−t)f(t)dtx∫f(t)dt−∫tf(t)dt000因此lim=limxxx→0x→0x∫f(x−t)dtx∫f(t)dt00x∫

7、0f(t)dtf(ξ)x=lim=limxx→0f(t)dt+xf(x)x→0f(ξ)x+xf(x)∫0f()01==f)0(+f)0(2其中0<ξ

8、26教学与命题研究中心清华大学数学系教授刘坤林俞正光谭泽光葛余博叶俊章纪民1F(x)=∫f(xt)dt，求F′(x)，并讨论F′(x)的连续性。0【解】首先由知f(x)连续及极限等式应有f(0)=0，du其