问题探究重在本质透视

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1、问题探究重在本质透视———由2014年两道浙江考题想到的浙江省平湖中学毛良忠2014年高考已经落下帷幕，各省市的高考试题中都努力体现了新课改理念。不在难偏上考倒学生，更多地注重数学思想方法的考查，试题设计关注宽角度、多视点、有层次地考查了数学的理性思维能力，同时也很好地考查了学生对数学本质的理解能力和数学素养及潜能。浙江省每年高考都带给我们数学教师许多期盼，一方面希望能“雅俗共赏”，让更多的学生考出好成绩；另一方面则希望能出现一些有新意、能品味后“留有余香”为我们的教学“津津乐道”的好题。认真研读浙江省数学文理两份考题，可圈可点的题很多，其中

2、笔者尤感兴趣的是文科第9题，第10题（理科第17题），它可称是整卷的一大亮点．下面就这两道漂亮题谈一些解题感受.案例1（2014年浙江文9）．设为两个非零向量，的夹角．已知对任意实数，的最小值为1．（）A．若确定，则唯一确定B．若确定，则唯一确定C．若确定，则唯一确定D．若确定，则唯一确定考题解说：本题既传统又新颖，有明显的浙江特色——表述简洁，选项对称优美。本题以几何为背景，以向量为载体，入口宽阔，解法多样；紧扣概念，体现本质；立意清晰，背景深刻；渗透思想，能力到位，是一道难得的好题．重点考查了向量的加法，数乘运算，模长知识，以及综合运用能

3、力同时考查“化归与转化”，“数形结合”等思想方法。今年高考学生普遍反映数学不好做，可能更多地卡壳在读题审题上。此题中条件t的任意性，模最小值的确定性，选项中指定量的确定，相关量的唯一确定这些概念的能否准确理解都将直接影响学生是否能成功解题。在仔细审题后我们可挖掘出问题蕴含的两个线索：显性条件：（1）本题涉及四个向量、、、；（2）的最小值为；（3）为两个非零向量、的夹角．隐性条件：与不共线．（）。理由：若与共线，则存在唯一的实数使得，则，此时当时，的最小值为0，与已知条件的最小值为矛盾，所以与不共线．如果我们真切地感受到了上面两个信息，那么下面

4、的几种解题想法应该也是自然的。策略分析1（函数视角）：利用模运算，构建目标函数。将条件（2）的最小值为1表征等价于的最小值为1．于是当时，，即又．所以，当确定，则唯一确定，选择惊喜发现，取最小值时，，即点评：此法中向量模的计算表征为向量数量积的运算，起到平面向量问题代数化的目的。计算过程中认清变量为主元，转化为二次函数问题，起点较低，计算稍显复杂，惊喜发现的垂直关系预示着本题可用几何法解决，做到代数几何的完美统一．策略分析2（建系视角）：建立坐标系，引入坐标运算。如图建立坐标系，以为坐标原点，设，即又．所以，当确定，则唯一确定，选择点评：此法

5、运用平面向量基本定理，以，为基底进行表征，本质和解法一相同．策略分析3（模角运算）：利用向量数量积如图，，则设为与垂直的单位向量，设的最小值为，即即所以，当确定，则唯一确定，故选择点评：此法运用平面向量数量积，充分体现向量运算的灵活性，有一定的几何味道，计算简便．策略分析4（几何渗透）：几何探路，数形结合（1）设，，由图知，点的轨迹在直线上，的最小值为，即的最小值为1,由几何意义知点到直线的距离为1,由图在中，，当确定，则唯一确定，选择（2）逆向思考，整体把握如图设，直线以为方向向量，则在平面内到距离为的直线有两条，若时，，则或此时所以，当确

6、定，则唯一确定，故选择当时同理可得。点评：今年的这道向量题网上评论很多，众所纷纭中感受到高考真的“爱”你不容易！事实上此题我们浙江省十年前就有过“相约”，只是命题者对向量的偏爱和爱恋在2014年将它演绎的更加唯美和极致。让我们重温2005年这样的一道姊妹题：（2005年浙江理科第10题）已知向量，，满足对任意的，恒有，则（）A．B．C．D．解析：如图，，点的轨迹在直线，即直线上，因为所以，即，所以直线即：，故选择．此时再回首看2014年浙江文科第9题，你是否有一种“似曾相识燕归来”的感觉．此题几何法的求解策略关键在于投影及距离概念的突现。事实

7、上，此法并不是空穴而来，在人教版教材中，点到直线的距离问题有两处涉及。根据编著者的编写意图，分别在向量内容之前与向量之后呈现．如必修2~中，证明点到直线的距离公式为简证：设为直线上任意一点，直线的法向量为，则，这正是分析3解法的由来．又如选修2-1第87页，直线的向量式方程：空间中，若点在直线外，点在直线上存在唯一的实数，使得．此问中的最小值为1点到直线的距离为1．这正是分析4的由来．解题反思：这几年浙江省向量题都编制的非常漂亮，一个原因是它的解题途径多，很好地考查了不同层次学生对知识的掌握和理解程度；另一个原因是基于向量具有代数与几何的双重

8、身份这一特征，向量的学习应渗透数形结合思想。向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，因此有关向量问题的解决中，一方面，我们可以根据向量的有关运算律、公式解决问题；另一