问题探究重在本质透视——由2014年两道浙江考题想到的.pdf

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1、2014年7-8月下溉浙江省平湖中学(314200)毛良忠认真研读浙江省数学文理两份考题，可圈可点的面的几种解题想法应该也是自然的．题很多，其中笔者尤感兴趣的是文科第9题，第10题策略分析1(函数视角)：利用模运算，构建目标(理科第l7题)．下面就这两道题谈一些解题感受．函数．将条件(2)I西+taI的最小值为1表征等价于1．(2014年浙江文9)设为两个非零向量a，b的夹I西+taI的最小值为1．于是Ib+taI=I口It+角．已知对任意实数t，lb+tal的最小值为1()．2(1aIIbIcosa)t+lbl=(I口It

2、+IblcosO)+(A)若0确定，则Iaf唯一确定IIsin20(B)若口确定，则b唯一确定当t：一时，lb+talmin：I西Isin2(c)若laI确定，则唯一确定=1，即lbIsinO=1(D)若IbI确定，则唯一确定考题解说：本题既传统又新颖，有明显的浙江特又0<<所以Jbl：，当确定，则IbI色——表述简洁，选项对称优美．本题以几何为背景，唯一确定，选择(B)．以向量为载体，入口宽阔，解法多样；紧扣概念，体现惊喜发现，I西+tiltl取最小值时，(西+ta)·a=本质；立意清晰，背景深刻；渗透思想，能力到位，是一

3、b．口一L．1nl：0道难得的好题重点考查了向量的加法，数乘运算，模f，即b+tart上口．af长知识，以及综合运用能力同时考查“化归与转化”，点评：此法中向量模的计算表征为向量数量积的“数形结合”等思想方法．运算，起到平面向量问题代数化的目的．计算过程中今年高考学生普遍反映数学不好做，可能更多地认清变量t为主元，转化为二次函数问题，起点较低，卡壳在读题审题上．此题中条件t的任意性，模最小值计算稍显复杂，惊喜发现的垂直关系预示着本题可用的确定性，选项中指定量的确定，相关量的唯一确定几何法解决，做到代数几何的完美统一．这些概念

4、的能否准确理解都将直接影响学生是否能策略分析2(建系视角)：建立坐标系如图1，引入成功解题．在仔细审题后我们可挖掘出问题蕴含的两坐标运算．l个线索：显性条件：(1)本题涉及四个向量a，b，ta，b+ta；(2)Ib+taI的最小值为；(3)为两个非零向量a，b的夹角．DaA隐性条件：a与b不共线(0<<订)．理由：若口图1与b共线，则存在唯一的实数A使得b=Aa，则Ib+taI=I(A+t)al，此时当A+t=0时，lb+taI的如图1，建立坐标系，以0为坐标原点，=4，最小值为0，与已知条件Ib+taI的最小值为1矛盾，O

5、B=b，所以a与b不共线．设A(a,O)(口>0)，B(IbIcosO，IbIsin8)，b+如果我们真切地感受到了上面两个信息，那么下ta=(I西IcosO+at，IbIsinO)，Ib+tal=(1bl-107-■●l中小学数学I1．_．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解题研究⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯20l4年7—8月下旬(高中)cosO+at)+IbIsin20=(at)+2l6Icos0at4-lbI时赢：抛=(at+Iblcos0)+IbI。sin0，l6+taI2=所以Ibl_，当0确定，则I6I唯一确定，故sinIbfsin20=1，即I

6、6IsinO=11‘选择(B)．当BeZ时同理可得．又0<0<丌．所以IbI=，当0确定，则I西l811t／唯一确定，选择(B)．点评：此法运用平面向量基本定理，以iJ为基底进行表征，本质和解法一相同．策略分析3(模角运算)：利用向量数量积点评：今年的这道向量题网上评论很多，众所纷纭中感受到高考真的“爱”你不容易!事实上此题我们浙江省十年前就有过“相约”，只是命题者对向量的偏爱和爱恋在2014年将它演绎的更加唯美和极致．让我们重温2005年这样的一道姊妹题：如图2，：4，商：，B-d：ta，则：b+ta(2005年浙江理科第

7、10题)已知向量d≠P，e=设0应=P为与a垂直的单位向量，设COE=Ot，1，满足对任意的t∈R，恒有la一I≥I口一Pl，则Ib+tatI的最小值为1，即1=Ib+taICOSO~=()．fb+ta)·P=b·e(A)a上e(B)a上(a—e)即IbIcos(、{二一01=lbIsinO=1所以Ibl=(C)P上(口一)(D)(口+e)上(4一e)解析：如图5，D=口，D=P，D百=te点的轨1，当0确定，则lbI唯一确定，故选择(B)．迹在直线OE，即直线Z上，因为=0一0=口一，S1nit赢：一=n一，因为Ia—te

8、I≥I4一PI所点评：此法运用平面向量数量积，充分体现向量运算的灵活性，有一定的几何味道，计算简便．以II≥II，即IABI≥IAEI，所以A上直线策略分析4(几何渗透)：几何探路，数形结合Z即：口上(a—P)，故选择(c)．(1)设：，=口，=ta由图3知，点P的轨迹在直线A曰上，I6+