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1、抓住本质探究滚动问题张睿（浙江省宁波市镇海区古塘中学，315200）圆的滚动问题，在新老教材中都出现过。近年更是作为竞赛题出现。由于解决此问题，需要校强的空间想彖能力，因此对于所有学生，甚至是老师都是难点。笔者结合自己在教学屮的反思，发现抓准了问题的本质，找到解决问题的一般方法，便能帮助学生灵活应对这类题口的变式。1、由简入手:在直线上滚动探究一：若半径为r的圆沿直线滚动一周，圆心经过的距离是多少?图1分析：如图1,鬪滚动一周，在直线上经过的路程为圆的周长2nr,即AB=2nr，则圆心经过的路程00、圆在直线上滚动-•周，圆自身转动了一圈
2、。因此可以作出一个大胆猜想：圆沿线（包括直线、曲线、折线）滚动时，圆白身转动一圈，関心经过的路程为一个圆周长；反Z,I员1心经过的路程为一个圆周长，圆口身转动了一圈。对这个猜想的补充说明：要正确理解这个猜测，必须分清两个概念，即“滚动、转动”。转动的定义：物体的备部分都绕着同一条轴线做圆周运动，这样的运动叫做转动。那么関自身的转动指的就是：圆上各点绕着圆心做圆周运动，其所研究的对象是圆自身。而滚动的主体要有两个图形，两个解：如图2,虚线为滚动过粗屮圆心的轨迹，圆心经过的路程等于三条线段长加上三条弧长。其中三条线段长：—+。5。6二△ABC
3、的周长；图中三段弧所在圆的半径即为00的半径，而它们的度数和，等于以A、B、C为顶点的三个周角,减去六个直和，再减去AABC的内角和的差，即360°x3-90°x6-180°=360°。所以三段弧长和为O0的周长。・・・圆心经过的路程=/ABC的周长0的周长AOO转动的圈数二1±1=6（圈）1小结：圆在n边形外侧滚动一周，関心经过的路程等于n边形的周长加上n段弧长，而这些弧所在圆的半径即为圆的半径，圆心角和为：360°x/i-90°xIn-180°x（n-2）=360°发现即是n边形的外角和，这样n段弧长和为関周长。O0转动的圈数二圆心
4、经过的路程的周长图形保持时刻接触。二多边形的周长+圆的周长2、拓广范圆在多边形内、外滚动的周长二圆心经过的路程的周长即可得到结果。探究二如图，O0沿着AABC的外侧（圆和边相切）作无滑动的滚动一周凹到原来位置。已知AABC的周长是OO周长的5倍，问O0自身转动了儿圈？分析：而按照本文前面的猜想，只要算出圆心经过的路程，根据：O0转动的圈数二多边形的周长②圆的周长+J在一些出版的论文中，曾看到公式②。虽然，两个公式有相似Z处，但笔者认为，研究圆心经过的路程，是这类问题的木质。如在以下的探究中，更能灵活应对。探究三：如图，已知RtAABC中Z
5、B二60°,ZC二30°,AB二4,00的半径一1。若00沿着RtAABC的内侧作无滑动的滚动一周回到原來位置。问O0自身转动了几圈？分析：如图3,圆心经过的路程为△OQ2O3的周长。略解：如图3,圆与三角形三边相切，切点分别为D、E、F、G、H、M,连结圆心和各切点,延长IQ交BC边于点N,rfl己知易得AB=4,BC==gAD=AM=l,BE=BF2/T在RtAChNG中,口J得O2N—f3则HN=3+2^3在RtAHNC中，可得HO唾主=翻+23△OQO的周长二AABC的周长-2AD-2BE-2HC=4+8+4^3-2-2^3-2^
6、3-4=6OO转动的圈数=6/2n（圈）A图3小结：抓住木质，则圆在多边形上滚动，内外无别。3、曲直无别，圆在另一圆的内、外滚动探究四：OM和ON为等圆，半径为匕若ON沿OH外侧无滑动滚动一周，则ON自身转动儿圈?分析：如图4,ON的圆心经过的路程为，以点M为圆心，2r为半径的圆的周长・・・ON转动的圈数二4nr/2nr=2（圈）学牛:对这道题，直观上难以想象。认为（DN滚动一周，圆上每个点依次与OM±每个点重合一•次,因此0NK转动了一圈。这暴露出学生对木文屮提到的转动一圈的概念不清。可向学牛讲清概念的同吋，利用图4,讣学生直观感受。如
7、图4,当ON的圆心，由N1的位置移到N2的位置时，圆上点A、B的位置也相应转动到点A'、B'的位置，我们发现ON刚滚动了四分之一周时，自身已经转动了半圈；而当0N滚动了二分之一周吋，自身已经转动了一整圈。小结：圆的滚动问题，只要找准鬪心经过的路程，不但内外无別，曲直亦无別！以下是两道变式题，读者可自行解决。1、0A的半径为1,OB的半径为4。若。A沿0B内侧无滑动滚动一周，贝IJOA自身转动几圈？略解：如图5,0A的圆心在以点B为圆心，半径为3的圆上，圆心经过的路程为6n,则口身转动的圈数二6开/2开二3（圈。图5图62、半径为1的小圆从
8、点0到点0',沿曲线AB作无滑动的滚动，已知半圆AC、半圆BC所在圆的半径分别为4、2。贝U小圆自身转动了几圈?略解：如图6,小圆的圆心在以3为半径的圆上，圆心经过的路程为6n,则自身转动的圈
