浅议中学数学中的rmi原则

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1、高中数学教与学2010年浅议中学数学中的RMI原则韩俊(江苏省溧阳中学，213300)RMI原则即关系(relationship)映射(map-称为原像关系结构，lgx所满足的数学关系②ping)反演(inversion)原则，它是由我国数学家称为映像关系结构.从图中可以看出⑤、⑦是徐利治教授提出的一种处理问题的普遍方法互逆的两个过程，而⑥这个过程则表示通过或准则.本文主要探讨RMI原则在数学中的一定的方法把目标映像确定出来.应用，故而就数学中的RMI原则陈述如下:%①原像关系⑤取对数%②映像关系在所研究的问题中，给定一个含有目标55x=姨0.6842lgx=姨0.684

2、2原像x的关系结构系统R，如果能找到一个可逆映射(mapping)，将R映射成R*，而且在R*⑥查对数表中可通过一定的数学方法把未知的目标x的④求得原像⑦取反对数%③求得映像映像x*确定出来，再通过反演(inversion)即x=0.9268lgx=-0.0330逆映射最终把x求出，使问题得到解决.整个过程如图1所示:图2从上述过程可以看出，RMI原则为我们解%(mapping)R,xR*,x*决问题提供了一种化归的手段，使得我们在映射解决问题时可以化繁为简，化难为易，化未知(inversion)xx*为已知，化暗为明，而这也符合一般化归的原反演则，在中学数学中亦成为重要

3、的方法原则.下图1面从RMI原则的作用入手来介绍其在中学数下面举个例子对以上过程中的一些概念学中的应用.加以解释.一、探求证明的重要思路5例1计算x=槡0.6842.中学数学中坐标平面上的点用有序数对分析第一步，两边取对数(x，y)来表示，几何图形中的线和圆可用关于lgx=1lg0.6842;x，y的一次式、二次式一一对应起来.这样，作5为原像的几何图形———点、线、圆等便和作为第二步，查对数表得映像的(x，y)及含x，y的一次、二次式一一对1lgx=(0.8352－1)应起来.这种对应关系则是映射关系.通过坐5标，一方面可把几何问题化归为代数问题，通=－0.0330;过

4、代数结论去获得几何结论;另一方面，又可第三步，查反对数表得x=0.9268.上述过程可用图2的框图表示.把代数问题化归为几何问题，通过几何结论上面例子中x称为目标原像，这个值没办去获得代数结论.法直接来求，因此先求x在映射⑤下的映像例2设H为三角形ABC的垂心，D，E，F*x即lgx，这是目标映像.通过查对数表这一为三高的垂足.自D分别作AB，BH，CH，CA的方法来求得目标映像③，最后通过反演⑦求垂线，其垂足分别为K，L，M，N.求证此四点共得目标原像④.其中x所满足的数学关系①线.·4·第2期高中数学教与学%A(4，2)，(0，1)的距离之和的最小值是5.F建立如图5

5、所示的直角坐标系并作出点KHELA(0，1)，B(4，2)，M(x，0)，再作出点B关于xMN轴的对称点B′(4，－2).%yBDCB(4,2)图3A(0,1)M分析为简化问题，取D为坐标原点，OxDC，DA分别为x，y轴.设A(0，a)，B(b，0)，B＇(4,-2)C(c，0).这样，便不难列出原像图形中十条直图5线在映像系统中所对应的十个方程(略)，联立方程组后便可求得K，L，M，N的坐标分别为因为

6、MB

7、=

8、MB′

9、，所以

10、MA

11、+222ababcbabc

12、MB

13、=

14、MA

15、+

16、MB′

17、.显然当点A，M，B′在K，，L，－，(2222)(2222)a+ba+ba+c

18、a+c一条直线上时

19、MA

20、+

21、MB′

22、取得最小值即222Mbc，－abc，Nac，ac.线段AB′的长，利用两点间的距离公式得(2222)(2222)a+ba+ba+ca+c22AB=槡(0－4)+［1－(－2)］=5.要证明这四点共线，可利用向量中三点以上过程可以用图6的框图来表示.共线的判断方法即得2%→ac－b→NK=·NM，要证不等成立恒映射求点M到点A、B距离之2cbc+a成立(代数问题)和的最小值（几何问题）形数对应22→1a+b→LN=·LM，利用对称点bb－c的性质即N，K，M共线，L，M，N共线，故K，L，M，N四反演证得不等式成立AB＇

23、的距离最短点共线.代数解释以上解题过程可用图4的框图表示.图6%要证明四点共映射四点共线(代数问二、数学创造的一种方法线(几何问题)题),求得四点坐标例4已知抛物线y2=x+1，定点A(3，形数对应1)，B为抛物线上任意一点，点P在线段AB利用向量上，且有BP∶PA=1∶2，当点B在抛物线上变反演证得四点共线%任三点共线动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为几何解释哪种曲线?图4%y例3求证:对任意x∈R，有BPA(3,1)槡x2－8x+20+槡x2+1≥5.-1Ox分析如果用代数中证明不等式的方法难度颇大，于是考虑借助坐标