RMI原则在高中几何教学中的应用.doc

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1、RMI原则在高中几何教学中的应用广东省清远市清城中学高中部　张爱菊　广西壮族自治区桂林市桂林理工大学理学院　张浩奇摘　要：本文简单介绍了RMI原则，从5个方面以5个例子说明了RMI原则在高中几何教学中的应用，在解题中突出算法思想，以流程图的形式清楚地表述出解题思想过程。 关键词：RMI原则；高中几何；教学；流程图 1.RMI原则简介 关系(relation)映射(mapping)反演(inversion)原则是一种普遍的工作原则，简称为RMI原则。其基本思想如图1:                     我们知道，一道数学题或一个数学理论，都是由一些已知的数学对象，已知的数学关系和未知的

2、（待定的）数学对象与关系组成的，我们把由这些对象与关系组成的集合称为关系结构系统。显然，上面框图中，都是一个关系结构系统。如果我们能在与之间建立起某种确定的对应关系，使中的在中有唯一的元素与之对应，且能够通过数学手续在中把映象目标确定下来，那么，这种对应就称为可定映映射。同样，“反演”也是一种对应，且满足“可以被确定”。 RMI原则告诉我们：如果在原象关系结构系统中不易确定原象目标，我们可以通过适当的可定映映射，将转化为，并在中确定映象目标，再通过反演确定。 2.RMI原则在高中几何教学中的应用 在高中数学教材中，多处运用了RMI原则解决数学问题的思想和方法，所以，教师在教学中可以向学生明

3、确指出这种思想方法，使之作为一种思想方法自觉运用。让学生知道，我们在解决数学问题时常推来推去缺不是毫无目的的；而是在寻求一种将“未知、复杂、困难”的问题转化为“已知、简单、容易”问题的“映射”，使问题转化后在新的领域中得到解决，再“反转”回到原来的领域中去。将学生的思想提高到RMI原则的高度来认识。这样可以减少学生在解决数学问题时的盲目性，提高学生解决数学问题的能力及学习数学的兴趣。加深学生对数学本质的认识，强化“数学细胞”，提高数学素质。 根据新课改后高中教材的知识内容及要求，RMI原则解决数学问题的思想和方法在几何部分显得尤为突出。下面，本文将介绍RMI原则在高中几何教学中的具体应用。

4、 2.1.坐标法 在高中几何中，由于引入了平面直角坐标系、空间直角坐标系、极坐标系和仿射坐标，所以使许多平面几何问题可以借助于RMI原则将其映射到代数问题求解，然后反演到几何问题。由于它借助于坐标系这个工具，所以我们把这种RMI原则方法称为坐标法。其基本思想如图2： 　　　　　　　　　　　　　　　 例1.如图3，已知半圆的直径为，为位于半圆之外，而又垂直于的延长线，其垂足为，且，又是半圆上的不同的两点，，且求证：. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 分析：采用平面几何的方法证明本题是较困难的，但使用RMI原则将此几何问题映射为代数问题，运用代数变换方法先寻求代数结论，再反演为几何结

5、论，那就容易多了。其解题思路流程图如图4： 　　　　　　　　　　　　　　 解：以为极点，射线为极轴，建立极坐标系（图3）。 设，则半圆方程为： 设，则，且 ，                                 （1） ，                                 （2） 又由图3知：，，而，所以                                 （3） 同理得                                      （4） 由（1）（3）得 由（2）（4）得 上面两式说明，是方程的两根，所以按韦达定理有，故. 2.2.向量

6、法 向量作为高中数学的基本内容之一,兼有代数与几何两种形式,具有代数的抽象与几何的直观,是集“数”和“形”于一身的数学概念。高中数学中许多难度较大的问题,若引入向量来处理,就能使问题简单化,这为我们的解题注入新的活力，也完美的体现了RMI原则的思想方法。其基本思想方法如图5：　　　　　　　　　　  　　例2．如图6所示，分别是的直径。与两圆所在的平面均垂 直，，是的直径，，.求：直线与所成的角。 　　　　　　　　　　　　 分析：求异面直线所成角，我们往往是平移其中一条直线与另一条相交，然后得到要求角，然而，如果我们引入向量，根据向量的平移不变性，我们不需辅助线，而直接运用向量知识就能求出两

7、异面直线所成角，其解题思路流程图如图7： 解：以为原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图6所示），则有  从而有， 因此，  设异面直线与所成角为，则 所以，异面直线与所成角 2.3.复数向量法 在高中数学中，通过复平面，使复数、复平面上的点和复平面内以原点为起点的向量，三者之间建立了一一对应的关系。即如图8：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  我们把一个问题映射为有关复数的和向量的关系结构系统，并