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1、http://www.paper.edu.cn圆规和直尺三等分任意角许世传共大公司，香港（518026）E-mail：hsc1937@163.com摘要:尺规三等分任意角有3800多年历史，是个令无数数学家望而却步的千古难题.本文不走历史直接等分任意角的死胡同;运用角度与弧度等价原理,利用内接等边弦(或外切线)等分弧度,这样达到三等分任意角，才能变“不可能”为可能.首创用无刻度直尺和圆规等分任意角的作图原理和几何数理.关键词:圆心轨迹线，切线平行线，内接等边弦1.引言:早在公元前5世纪，古希腊的巧辩学派就提出了在只用直尺画直线、圆
2、规画弧的限定下，将任意给定的角三等分的命题。很多伟大的数学家如阿基米德、笛卡儿、牛顿等都试图拿起直尺和圆规挑战自己的智力，但终于都以失败告终。直至公元1837年，法国数学家闻脱兹尔宣布：“只准使用直尺与圆规，想三等分一个任意角是不可能的！”,才暂时了结了这宗长达几千年的数学悬案。但仍然有很多痴心不改的人想攻破数学史上的“不可能”，他们欲变“不可能为可能”。“在大学课堂教学中,有没有伪科学的出现?我们应该怎么避免它?如数学上已证明用圆规和直尺三等分任意角是不可能的"。是吗!请看下面不同的作图和数理分析:2.数理系统分析2.1不能三等
3、分角代数数理历史上认为任意角不能三等分的代数数理证明,引用台北大学数学系教授曹亮吉(数学家)的见解其要点有二，一为:不是任何实数都是可做数，一为：假定一角可以三等分，则某1个线段长x为可做，但由代数的分析又知x不为任何N阶数，故得矛盾(证略).2.2“3”元素的客观存在性[1]先看数论内容：整数分解、素数分布、解析数论、…筛法等等。最基本的数是自然数，自然数除“1”之外共分素数和合数；换言之有了1才有数，有了素数就能产生自然数：1，n=1,22，3，……的无限完美整数列来.证实3在自然数列中的存在性,不是水中捞月,取nf(22)=
4、↔4时,中必有一“素数元素3”存在;在[2-4]]区间就能用2筛出3素数元来,2所以素数3是数字中最基本不可替代的原始元素之一.我们能从自然数列中找出3元素来:第一步:用直尺和圆规作两次等分角∠AOB,就产生2至4单元量,见图1.1中的O-O1和O-a两条角平分线;这种尺规作图不含3元素.第二步:在2至4单元量间隔中添上3素数元素.为作图方便,灵活地采用:6(分角)÷2=3.得3个单元等圆,存在奇素数元素3.1参见:http://tb.blog.csdn.net/TrackBack.aspx?PostId=6939732[]1参考
5、[香港]许世传著《循环论》p35数学是描述物质世界的最贴切语言，而素数仅有1和自身为其素因子，是不可替代的数学元素；故可把素数看作不变的不可替代的最基本原始粒子的物质元素，这是数学描述物质世界，量变到质变规律抽象语言的基本概念，也是最基本原始假设。例如：有2，3，5元素就有可能找出:7，11，13，17，19，23新元素；因为2，3，5素数及4，6，8，9，……，25合数都被筛去.同样在[2-4]]区间就能用2筛出3素数元来.证实3在自然数序列中的存在性,不是水中捞月.-1-http://www.paper.edu.cnPO`cA
6、bB圆1K圆2a010302Rr0图1-1角的单元量图注:任意角:∠A0B;角平分线:O--O`是∠AOB的平分线;O---a是∠O`OB的平分线轨迹线:b是圆1的平移轨迹线;c是圆2在O-B线左上方平移轨迹线3.三等分任意角作图:3.1用无刻度直尺作任意角∠A0B;参见图1.23.2用圆规作角∠A0B的平分线OO1;3.3取任意长半径d作角∠A0B的内接圆.d;3.4由d圆周上作b‖OO1;作c‖OB相交于K点;3.5过K点作等圆O1;3.6过O点再作圆O1的切线OP..就是任意角∠A0B的三等分线.-2-http://www.
7、paper.edu.cnPKO1AMBcbdO图1.2三等分任意角作图4.数理证明4.1作距切线P为d的平行线pˊ与R弧交于O2,见图1.3.4.2则P⊥O1-M-O2,且O1-M=M-O2=d,M是圆O1和圆O2的唯一切点.4.3由作图知K-O1=d,K到OB的距离是2d;过K点作O2ˊ圆与O1圆交于K且与OB和c相切,圆心O2ˊ在d-O2轨迹线上;过M点作O2圆与O1圆相切于M且与OB和c相切;圆心O2在d-O2轨迹线上;4.4所以O1-M=M-O2=02-D=d;故:⊿O-O1-M≌⊿O-O2-M≌⊿O-O2-D,4.5同理
8、作左边O3圆,则O1-O2、O1-O3(及O3-O5、O2-O4)是角∠AOB的R圆弧内接弦等边多边形;故O-P.切线是任意角∠A0B的三等分线(证完).-3-http://www.paper.edu.cnPpˊO1KBAO3O2cMO2ˊDO5O
