论用圆规和直尺能将一个角三等分（续文）

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1、论用圆规和直尺能将一个角三等分（续文）对于此题的证明，是在通过具体解题过程得出解题结果之后，对于这一具体解题结果的正确与否所进行的证明。通过本人的不懈努力，在三十多年的证明研究过程中，经过了数百次的反复纠改，终使这一结果得到了严谨的理论证实。解题步骤：参见图1，以任意角的顶点O为原点，以任意长为单位，分别在角的两个边上连续截取三个相等的单位，令第一个单位上的点分别为E、F，令第三个单位上的点分别为P、Q。以P点为圆心，以E、F两点距离为半径在角内划弧，再从E、F两点引出切线与该弧相切，两条切线相交于

2、点B，以同样的方法以Q点为圆心，可得另一交点C。B、C两点就是角的三等分线所经过的点。以O点为圆心，以OB或OC的长度为半径在角内划弧，分别交角的两边于A、D两点。连接AB、BC和CD，若能证明出AB=BC，或BC=CD，则说明B、C两点，就是角的三等分线所经过的点。因为OE=OF，OA=OD，OP=OQ，AB=CD，所以，EF、AD、PQ、BC都是关于角平分线对称的点。证明过程：参见图2，首先连接P、Q，交EB于点H，交FC于点R。因为OP=3OE，OQ=3OF，所以，PQ=3EF，所以PH=HR

3、=RQ。连接AD，便得AD∥BC，且AD∥5EF。连接ER，交AD于N，再连接FH交AD于M。因此M、N两点也是关于角平分线对称的点，所以MB=NC，同时便得出一个等腰梯形NMBC，则有BN=MC。因为EF∥=RQ，所以ND∥=RQ，所以ND∥=BC，所以四边形NBCD是一个平行四边形，若证明出四边形NBCD为菱形，就可以说明BC两点就是角的三等分线所经过的点。参见图3，以N点为圆心，以BC长为半径画弧，交AM于W点；连接WB并延长到等于一倍WB长的一点Z，则有WB∥=NC，BZ∥=NC，所以，WB

4、=MB（等量代换）。过M点作NC的平行线，交BN于K，交BC于G，则有BZ∥=MG，再以B点为圆心，以WB长为半径划弧，交由M点所作的与NC相平行的线于T点，连接BT则有WB=MB=BZ=BT，连接ZT和TC以后，若能证明Z、T、C三点是在同一直线上的点，整个问题就可以应刃而解。此题的证明，是需要通过多步骤比较复杂的过程才可以完成的，为此，我们将要对于本题进行分步证明：①证明Z、T、C三点在一条直线上②证明WT=MZ③证明BC=CD。通过对于这个问题进行一系列的推导以后，我们得出已知条件是：WB=B

5、Z=MB=BT，WN∥=BC，WZ∥NC。证明：∵WZ∥MT，MB=BT（已知）∴∠WBM=∠BMG（内错角相等）∠BMG=∠BTK（等腰三角形底角相等）∴∠WBM=∠BTK（等量代换）又∵四边形NMBC是一个等腰梯形（推导）5∴N、M、B、C四点是在同一圆周上的点∵MB=BT，∠WBM=∠BTK（已知）∴∠BTK是同弧上的圆圆角∴T、N、M、B、C五点都是同一圆周上的点∴四边形NBTC也是一个等腰梯形∴TC∥BN∴KT∥=BZ∴Z、T、C三点是同一直线上的点第一步证毕∵BZ∥=MG∥=KT（证知）

6、∴MG=KT（等量代换）∴四边形MBZG和WBTK都是菱形∵∠BMG=∠BTK，∠BMG=∠BZG（证知）∴∠BZG=∠BTK（等量代换）∴∠BWK=∠BMG=∠BZG=∠BTK（等量代换）又∵WB=BZ=MB=BT（已知）∴菱形BWKT≌BMGZ∴WT=MZ∴四边形WZTM是一个等腰梯形第二步证毕∵WZ∥NC（已知）∴四边形NMTC也是等腰梯形∴NT=MC∵BC=TN，BN=MC（等腰梯形对角线相等）∴BN=BC（等量代换）5∵BN∥=CD，∴BC=CD∴B、C两点就是角的三等分线所经过的点。结论

7、：通过具体的做法所得出的在同一圆周上的四个点当中，在已被确定了不相邻的两个弦处于相等的状态下，又证明出了相邻的各个弦都能得出相等的结果，说明用圆规和直尺将一角三等分是一个完全可以实现的理论现实。通过对于这一问题的严格证明，不仅是证明了一角三等分是可行的现实，而且还可以自然的形成一个几何定理。以任意角的顶点O为原点，以任意长为单位分别在角的两个边上连续截取三个相等的单位，以第三个单位的任意一点为圆心，以第一个单位长的两点的距离为半径在角内划弧，再分别从第一个单位上的点引出切线与该弧相切，两条切线的交点

8、就是角的三等分线所经过的点。我们将此确定为切线相交定理。总结：对于三等分任意角的问题，只要是能将90度以内的角给予等分以后，对于其它的任意角也都可以通过减去90度的方法来对于所有的任意角进行全面的三等分。5用圆规和直尺将一角三等分，是一个只有做题要求而没有给出任何已知条件的几何题，类似这样的问题，它既不是作图题，也不是证明题，而是一种需要利用圆规和直尺来达到某种目的的特殊类型的几何题，作图题和证明题都是需要具备充分的已知条件的，唯有这一类型的几何题没有已知条件。它不仅