18数理统计课件

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1、第6章方差分析6.1、一个因素的方差分析一、问题的提出比较研究某种农作物的四个不同品种对产量的影响。选取16块大小相同、肥沃程度相近的土地，每个品种选种四块，采用相同的耕种方式，测得产量结果如下：产量品种1202215225218品种2237215205226品种3340325315226品种4250267242254我们希望由此来推断作物的品种对产量的影响是否显著？从这里可以看出，不仅不同品种的产量是不同的，而且即使是同一品种其产量也不尽相同。在这一试验中，造成作物产量差异的主要原因有两个方面：

2、一方面是作物的品种不同，二是自然条件、管理差异等随机因素的变化。一般地设有r个水稻品种，第i个品种的亩产是正态随机变量。而其它影响亩产量的是大量的微小的随机因素，这些因素对每个品种的亩产量的作用是相同的。因此，r个品种的亩产量是同方差的正态随机变量，只是均值可能不同。我们要检验这r个品种的平均亩产量是否全一样，即检验假设H:m=L=m.01r从数学上分析，我们有r个正态总2体xi~N(mi,s),它们有相同的未知方差，要求检验这r个总体的均值是否都相等。设(xi1,L,xini)是来自总体xi的样

3、本，我们将从分析全部样本xij,j=1,L,ni,i=1,L,r的方差着手,寻找检验r个总体均值相等的统计量。这个方法，即方差分析法。通常将影响正态总体的均值的因素称为因子，它取的各种状态称为因子的水平。在我们的例子中水稻的品种就是因子，有r个品种就是这因子有r个水平。只考虑品种这一因子，这时的方差分析问题称为单因子的。水平通常用大写英文字母A来表示，而A,A,L,A表示因素A的r个12r不同的水平。二、单因子模型2设有r个正态总体xi~N(mi,s),i=1，……，r，(xi1,L,xini)为

4、来自总体的样本。这样我们有下列统计模型：ìx=m+ej=1,L,n,i=1,L,rijiijií2e,j=1,L,n,i=1,L,r,独立同正态分布N（0，s）îiji2其中mi,i=1,L,r,s为未知参数。这个模型称为单因子方差分析模型。我们要讨论下列显著性假设问题，原假设为H:m=L=m01r实际上这是检验r个有相同未知方差的正态总体是否有相同均值的问题。我们强调指出，在方差模型中我们观察到的是xij,而eij是观察不到的，通常称eij为随机误差或随机干扰。x的观察值记为x，j=1，L，n，

5、ijijii=1，L，r记1rm=ånimi,ai=mi-m,i=1,L,rni=1rn=ånii=1ni1xi=åxij，i=1，L，rnij=11rni1rx=ååxij=ånixini=1j=1ni=1m称为理论总均值，a为因素A的第i个水平iAi对应的试验结果的效应，易验证råniai=0i=1于是方差分析模型等价于ìxij=m+ai+eijj=1,L,ni,i=1,L,rí2e,j=1,L,n,i=1,L,r,独立同正态分布N（0，s）îiji判断因素A的影响是否显著就等价于检验假设H:

6、a=L=a=001rrni我们称S=åå（x-x）2为总偏差平方和。Tiji=1j=1rnir22ST=åå(xij-xi)+åni(xi-x)=Se+SAi=1j=1i=1误差的偏差平方和Se是由随机误差项造成的：ni1xij-xi=eij-ei,ei=åeijnij=1因子的偏差平方和S包含了由于因子取不同水A平而引起的偏差：1rnixi-x=(mi-m)+(ei-e),e=ååeijni=1j=1定理1：在单因子方差分析模型中12（1）2Se~c(n-r);s12S~c(r-1）；（2）在假

7、设H0为真时,2As并且SA与Se相互独立。三、显著性检验在H为真时0SA(r-1)F=~F(r-1,n-r)Se(n-r)而niSA212E（）=s+ån（imi-m）r-1r-1i=1Se2E（）=sn-rS所以H不真时，A要增大，由此当0(r-1)F

8、1Seijieei=1j=1n-rrni总合2n-1ST=åå(xij-x)i=1j=1四、参数的估计定理2：在单因素的方差模型中，有1rni(1)x=ååxij是m的无偏估计；ni=1j=1ni1(2)xi=åxij为mi的无偏估计；nij=1（3）aˆ=x-x为a的无偏估计；iiiS2e2(4)sˆ=为的s无偏估计。n-r22s由于xi~N(mi,s)，则xi~N(mi,)，ni2sxj~N(mj,)，因此nj22ssx-x~N(m-m,+)ijijnnijxi-mi22()~