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1、第6章方差分析6.1、一个因素的方差分析一、问题的提出比较研究某种农作物的四个不同品种对产量的影响。选取16块大小相同、肥沃程度相近的土地,每个品种选种四块,采用相同的耕种方式,测得产量结果如下:产量品种1202215225218品种2237215205226品种3340325315226品种4250267242254我们希望由此来推断作物的品种对产量的影响是否显著?从这里可以看出,不仅不同品种的产量是不同的,而且即使是同一品种其产量也不尽相同。在这一试验中,造成作物产量差异的主要原因有两个方面:
2、一方面是作物的品种不同,二是自然条件、管理差异等随机因素的变化。一般地设有r个水稻品种,第i个品种的亩产是正态随机变量。而其它影响亩产量的是大量的微小的随机因素,这些因素对每个品种的亩产量的作用是相同的。因此,r个品种的亩产量是同方差的正态随机变量,只是均值可能不同。我们要检验这r个品种的平均亩产量是否全一样,即检验假设H:m=L=m.01r从数学上分析,我们有r个正态总2体xi~N(mi,s),它们有相同的未知方差,要求检验这r个总体的均值是否都相等。设(xi1,L,xini)是来自总体xi的样
3、本,我们将从分析全部样本xij,j=1,L,ni,i=1,L,r的方差着手,寻找检验r个总体均值相等的统计量。这个方法,即方差分析法。通常将影响正态总体的均值的因素称为因子,它取的各种状态称为因子的水平。在我们的例子中水稻的品种就是因子,有r个品种就是这因子有r个水平。只考虑品种这一因子,这时的方差分析问题称为单因子的。水平通常用大写英文字母A来表示,而A,A,L,A表示因素A的r个12r不同的水平。二、单因子模型2设有r个正态总体xi~N(mi,s),i=1,……,r,(xi1,L,xini)为
4、来自总体的样本。这样我们有下列统计模型:ìx=m+ej=1,L,n,i=1,L,rijiijií2e,j=1,L,n,i=1,L,r,独立同正态分布N(0,s)îiji2其中mi,i=1,L,r,s为未知参数。这个模型称为单因子方差分析模型。我们要讨论下列显著性假设问题,原假设为H:m=L=m01r实际上这是检验r个有相同未知方差的正态总体是否有相同均值的问题。我们强调指出,在方差模型中我们观察到的是xij,而eij是观察不到的,通常称eij为随机误差或随机干扰。x的观察值记为x,j=1,L,n,
5、ijijii=1,L,r记1rm=ånimi,ai=mi-m,i=1,L,rni=1rn=ånii=1ni1xi=åxij,i=1,L,rnij=11rni1rx=ååxij=ånixini=1j=1ni=1m称为理论总均值,a为因素A的第i个水平iAi对应的试验结果的效应,易验证råniai=0i=1于是方差分析模型等价于ìxij=m+ai+eijj=1,L,ni,i=1,L,rí2e,j=1,L,n,i=1,L,r,独立同正态分布N(0,s)îiji判断因素A的影响是否显著就等价于检验假设H:
6、a=L=a=001rrni我们称S=åå(x-x)2为总偏差平方和。Tiji=1j=1rnir22ST=åå(xij-xi)+åni(xi-x)=Se+SAi=1j=1i=1误差的偏差平方和Se是由随机误差项造成的:ni1xij-xi=eij-ei,ei=åeijnij=1因子的偏差平方和S包含了由于因子取不同水A平而引起的偏差:1rnixi-x=(mi-m)+(ei-e),e=ååeijni=1j=1定理1:在单因子方差分析模型中12(1)2Se~c(n-r);s12S~c(r-1);(2)在假
7、设H0为真时,2As并且SA与Se相互独立。三、显著性检验在H为真时0SA(r-1)F=~F(r-1,n-r)Se(n-r)而niSA212E()=s+ån(imi-m)r-1r-1i=1Se2E()=sn-rS所以H不真时,A要增大,由此当0(r-1)F8、1Seijieei=1j=1n-rrni总合2n-1ST=åå(xij-x)i=1j=1四、参数的估计定理2:在单因素的方差模型中,有1rni(1)x=ååxij是m的无偏估计;ni=1j=1ni1(2)xi=åxij为mi的无偏估计;nij=1(3)aˆ=x-x为a的无偏估计;iiiS2e2(4)sˆ=为的s无偏估计。n-r22s由于xi~N(mi,s),则xi~N(mi,),ni2sxj~N(mj,),因此nj22ssx-x~N(m-m,+)ijijnnijxi-mi22()~