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1、§4.5分布拟合检验2一、c拟合检验法前面我们讨论了正态总体的参数的假设检验问题。但是,我们只根据总体x的样本(x1,L,xn),怎样来检验总体x是服从正态分布的呢?更一般地,设总体的x分布函数F(x)未知,F(x)是某个确定的分0布函数,可以提出下列假设检验问题:H:F(x)=F(x);H:F(x)¹F(x)0010这是分布检验问题,属于非参数假设检验问题。从解决实际问题的角度来看,在获得样本(x1,L,xn)的观察值后,应设法找到一个分布函数,把它作为总体的分布是与观察值相吻合的。这就是所谓的分布拟合问
2、题。因此,检验总体分布是否是某一个确定的分布,也称为分布拟合检验。很明显,分布拟合问题是难度很大的问题,2因为已知的东西太少,下面只介绍c拟合检验法,但不给出理论证明。设总体x的分布函数F(X)未知.样本(x,L,x)1n是来自总体,x容量n相当大。现检验总体是否服从某个给定的分布函数F0(x),即待检验的假设为:H:F=F;H:F¹F0010其中F0(x)是一个确定的分布函数.将x的值域[a0,ak)划分为k个区间,为此选择适当的常数a3、2),……[a,a),,k-1k记Δp=F(a)-F(a),i=1,2,L,k(2)i0i0i-1并用ni表示样本观察值落在[ai-1,ai)中的个数,k其中åni=n。i=1H根据Bernoulli大数定律,当0为真时,对任意e>0都有nilimP{
4、-p
5、6、i-p
7、8、n构造了一个检验指标kk2k2ni2n(ni-npi)niå(-pi)=å=å-ni=1npii=1npii=1npi若这个指标值过大就应拒绝原假设H0。但在这个指标中pi往往是未知的,为此需要下面的定理。定理1(K.Pearson-Fisher)设F0(x;q1,L,qr)为总体的真实分布函数,其中q,L,q为r个未知1r参数。在F0(x;q1,q2,L,qr)中用q,L,q的极大1r似然估计量qˆ,L,qˆ代替得F0(x;qˆ1,qˆ2,L,qˆr),令1rpˆ=F(a;qˆ,L,qˆ)-F(a;qˆ,
9、L,qˆ)i0i1r0i-11r令k2k22(ni-npˆi)nic=å=å-n(3)i=1npˆii=1npˆin®¥2则时,c的分布函数(弱)收敛于自由度2为(k-r-1)的c分布的分布函数。其中记号ni,k的意义如前所述。如果F0不含未知参数(即r=0),则pˆi应记作pi。注意:常数a0,Lak的取法就有很大的任意性。甚至前面构造的检验法实际上检验的原假设只是H:F(a)=F(a),i=0,L,k0i0i而并未真正去检验总体的分布是否为F0(x)。事实上,若另有一个分布函数F1(x),满足F(a)=
10、F(a),i=1,L,k1i0i那么我们的检验根本无法区别F0(x)与F1(x)。因2此,在实际使用c-分布拟合检验时,如何选定k及a0,Lak还需按照实际情况而定。一般来说,落入每个区间的样品个数不能太少,至少要有5个。至于k,通常取5—14。这些都是经验做法,讲不出多少道理。2K.Pearson的c分布拟合检验法的步骤:(1)用极大似然估计法求出F0(x;q1,L,qr)的所有未知参数的估计值qˆ1,L,qˆr;(2)把总体x的值域划分成k个互不相交的区间[a0,a1),[a1,a2),……[ak-1,
11、ak);(3)假定H成立,计算各区间上的理论概率0的估计值pˆi.2(4)根据样本观测值计算出c的观测值k2k22(ni-npˆi)nic=å=å-ni=1npˆii=1npˆia2(5)对给定的显著性水平,查c分布表,求2c22(1)出临界值c1-a(k-r-1),比较和c1-ak-r-,如22果c³c1-a(k-r-1),则拒绝原假设。H0这个检验法的水平近似地等于。a当x为离散型随机变量,可用按取值划分代替区间划分例1在某黑盒中存放有白球和黑球。现作下面的实验:用返回抽取方式从此黑盒中摸球,直到摸取的
12、是白球为止,记录下抽取的次数。重复试验100次,其结果如下:抽取次1234³5数频数43311565试问该黑盒中的白球与黑球的个数是否相等(a=0.05)?解:记X为首次摸到白球时所需的摸球次数,则X服从几何分布k-1P{X=k}=(1-p)p,k=1,2,L其中p为黑盒中白球所占的比例。黑盒中白球与黑球个数相等当且仅当p=1/2,相应地可计算得41k1k1P{X=k}=(),k=1,2,3,4,P{X³5}=1