14数理统计课件

《14数理统计课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§4.5分布拟合检验2一、c拟合检验法前面我们讨论了正态总体的参数的假设检验问题。但是，我们只根据总体x的样本(x1,L,xn)，怎样来检验总体x是服从正态分布的呢？更一般地，设总体的x分布函数F（x）未知，F(x)是某个确定的分0布函数，可以提出下列假设检验问题：H:F(x)=F(x);H:F(x)¹F(x)0010这是分布检验问题，属于非参数假设检验问题。从解决实际问题的角度来看，在获得样本(x1,L,xn)的观察值后，应设法找到一个分布函数，把它作为总体的分布是与观察值相吻合的。这就是所谓的分布拟合问

2、题。因此，检验总体分布是否是某一个确定的分布，也称为分布拟合检验。很明显，分布拟合问题是难度很大的问题，2因为已知的东西太少，下面只介绍c拟合检验法，但不给出理论证明。设总体x的分布函数F(X)未知.样本(x,L,x)1n是来自总体，x容量n相当大。现检验总体是否服从某个给定的分布函数F0(x)，即待检验的假设为：H:F=F;H:F¹F0010其中F0(x)是一个确定的分布函数.将x的值域[a0,ak)划分为k个区间,为此选择适当的常数a

3、2),……[a,a),，k-1k记Δp=F(a)-F(a),i=1,2,L,k（2）i0i0i-1并用ni表示样本观察值落在[ai-1,ai)中的个数，k其中åni=n。i=1H根据Bernoulli大数定律，当0为真时，对任意e>0都有nilimP{

4、-p

5、

6、i-p

7、

8、n构造了一个检验指标kk2k2ni2n(ni-npi)niå(-pi)=å=å-ni=1npii=1npii=1npi若这个指标值过大就应拒绝原假设H0。但在这个指标中pi往往是未知的，为此需要下面的定理。定理1（K.Pearson-Fisher）设F0(x;q1,L,qr)为总体的真实分布函数，其中q,L,q为r个未知1r参数。在F0(x;q1,q2,L,qr)中用q,L,q的极大1r似然估计量qˆ,L,qˆ代替得F0(x;qˆ1,qˆ2,L,qˆr)，令1rpˆ=F(a;qˆ,L,qˆ)-F(a;qˆ,

9、L,qˆ)i0i1r0i-11r令k2k22(ni-npˆi)nic=å=å-n（3）i=1npˆii=1npˆin®¥2则时，c的分布函数(弱)收敛于自由度2为（k-r-1）的c分布的分布函数。其中记号ni,k的意义如前所述。如果F0不含未知参数（即r=0）,则pˆi应记作pi。注意：常数a0,Lak的取法就有很大的任意性。甚至前面构造的检验法实际上检验的原假设只是H:F(a)=F(a),i=0,L,k0i0i而并未真正去检验总体的分布是否为F0(x)。事实上，若另有一个分布函数F1(x)，满足F(a)=

10、F(a),i=1,L,k1i0i那么我们的检验根本无法区别F0(x)与F1(x)。因2此，在实际使用c-分布拟合检验时，如何选定k及a0,Lak还需按照实际情况而定。一般来说，落入每个区间的样品个数不能太少，至少要有5个。至于k，通常取5—14。这些都是经验做法，讲不出多少道理。2K.Pearson的c分布拟合检验法的步骤：（1）用极大似然估计法求出F0(x;q1,L,qr)的所有未知参数的估计值qˆ1,L,qˆr；（2）把总体x的值域划分成k个互不相交的区间[a0,a1),[a1,a2),……[ak-1,

11、ak);（3）假定H成立，计算各区间上的理论概率0的估计值pˆi.2（4）根据样本观测值计算出c的观测值k2k22(ni-npˆi)nic=å=å-ni=1npˆii=1npˆia2（5）对给定的显著性水平，查c分布表，求2c22(1)出临界值c1-a(k-r-1)，比较和c1-ak-r-，如22果c³c1-a(k-r-1)，则拒绝原假设。H0这个检验法的水平近似地等于。a当x为离散型随机变量，可用按取值划分代替区间划分例1在某黑盒中存放有白球和黑球。现作下面的实验：用返回抽取方式从此黑盒中摸球，直到摸取的

12、是白球为止，记录下抽取的次数。重复试验100次，其结果如下：抽取次1234³5数频数43311565试问该黑盒中的白球与黑球的个数是否相等（a=0.05）?解：记X为首次摸到白球时所需的摸球次数，则X服从几何分布k-1P{X=k}=(1-p)p,k=1,2,L其中p为黑盒中白球所占的比例。黑盒中白球与黑球个数相等当且仅当p=1/2,相应地可计算得41k1k1P{X=k}=(),k=1,2,3,4,P{X³5}=1