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1、6.2、两个因素的方差分析一、有交互作用的方差分析模型设在某项实验中，有两个因素在变化，因素A有r个不同的水平A1,L,Ar，因素B有s个不同的水平B1,L,Bs。在水平组合(Ai,Bj)下的试验的结果用xij,i=1,L,r,j=1,L,s表示。假定x,i=1,L,r,j=1,L,s相互独立且服从(,2)ijNmijs分布，即共有r´s个独立正态总体xij。此外，还假定在每个水平组合(Ai,Bj)下进行了t次重复独立试验，试验结果用x,k=1,L,t表示，ijk它是来自总体xij的容量为t的样本。因此考虑考虑下列
2、两因子方差分析模型ìx=m+e,i=1,L,r,j=1,L,s,k=1,L,tijkijijkí2e,i=1,L,r,j=1,L,s,k=1,L,t独立同分布N（0，s）îijks记1mi·=åmij,i=1,L,rsj=1r1m·j=åmij,j=1,L,sri=1rs1m=ååmijsri=1j=1a=m-m,i=1,L,rii·b=m-m,j=1,L,sj·jg=m-m-a-b,i=1,L,r,j=1,L,sijijijrs易见这时有åai=åbj=0i=1j=1rsågij=0,j=1,L,s,ågij=0
3、,i=1,L,ri=1j=1称ai为因子A的第i个水平的效应，bj为因子B的第j个水平的效应，gij为因子A的第i个水平与因子B的第j个水平的交互效应。若g=0，i=1，……，r，j=1，……，sij即m=m+a+b,i=1,L,r,j=1,L,sijij则称方差分析模型为无交互作用的.若至少有一组(i,j),使gij¹0，则称方差模型为有交互作用的。这时有交互作用的两因子方差分析模型变为：ìx=m+a+b+g+ei=1,L,r,j=1,L,s,k=1,L,tijkijijijkï2e,i=1,L,r,j=1,L,
4、s,k=1,L,t独立同分布N（0，s）ïijkrsïíåai=åbj=0ïi=1j=1rsïïågij=0,j=1,L,r,ågij=0,i=1,L,rîi=1j=1对于有交互作用的两因子方差分析模型，我们要讨论下列显著性检验问题：（1）因子A是否有显著性影响，即检验原假设H:a=L=a=0011r（2）因子B是否有显著性影响，即检验原假设H:b=L=b=0021s（3）因子A与因子B的交互作用是否显著，即检验原假设H:对一切i=1,L,r,j=1,L,s,g=003ij记rst2ST=ååå（xijk-x）i=
5、1j=1k=1rstrs222=ååå（xijk-xij·）+stå(xi··-x)+rtå(x·j·-x)i=1j=1k=1i=1j=1rs2+tåå(xij·-xi··-x·j·+x)i=1j=1=S+S+S+SeABA´B2ES=rs(t-1)ser22ESA=ståai+(r-1)si=1s22ESB=rtåbj+(s-1)sj=1rs22ESA´B=tåågij+(r-1)(s-1)si=1j=1有重复试验的两因子方差分析表来源平方和自由度均方和F比ASAr-1SA/(r-1)FABSBS-1SB/(s-
6、1)FBA´BsA´B(r-1)(s-1)sA´B/(r-1)(s-1)FA´BeSrs(t-1)Se/rs(t-1)eTSrst-1T其中SSSA´BABF=r-1,F=s-1,F=(r-1)(s-1)ABA´BSSSeeers(t-1)rs(t-1)rs(t-1)对于给定的水平，a当FA³F1-a(r-1,rs(t-1))时拒绝原假设H01.当FB³F1-a(s-1,rs(t-1))时拒绝原假设H02.当FA´B³F1-a((r-1)(s-1),rs(t-1))时拒绝原假设H03.二、无交互作用无重复试验的方差
7、分析模型考虑下列方差分析模型ìxij=m+ai+bj+eiji=1,L,r,j=1,L,sï2ïe=1,L,r,j=1,L,s独立同分布N（0，s）ijírsïåai=åbj=0ïîi=1j=1下面讨论下列显著性检验问题：（1）因子A是否有显著性影响，即检验原假设H:a=L=a=0011r（2）因子B是否有显著性影响，即检验原假设H:b=L=b=0021s无重复试验的两因子方差分析表来源平方和自由度均方和F比ASAr-1SA/(r-1)FASBBS-1SB/(s-1)FBeSe（r-1（）s-1）Se/(r-1)(
8、s-1)Trs-1其中rsrs21ST=åå(xij-x),x=ååxij,i=1j=1rsi=1j=1rs21SA=så(xi×-x),xi×=åxij,i=1sj=1sr21SB=rå(x×j-x),x×j=åxij.j=1ri=1rs2Se=åå(xij-xi×-x×j+x).i=1j=1SSABF=r-1,F=s-1ABSSee(r-1)(s-1)(
