数理统计课件 2.2

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1、2.2点估计量的求法点估计的求法较多，本节介绍常用的矩估计法、最大似然估计法以及用次序统计量估计参数的方法。一.矩估计法矩估计法是由英国统计学家皮尔逊在1894年提出的求参数点估计的方法。1.矩估计法的基本思想：就是用样本的k阶原点矩n1kAk=∑Xi去估计总体X的k阶原点矩EX；用样本的kni=1n1k阶中心矩Bk=∑()Xi−X去估计总体X的k阶中心矩ni=1kE()XE−X，并由此得到未知参数的估计量。2.理论依据：大数定律――样本矩是相应总体矩的相合估计，即样本矩依概率收敛于相应的总体矩。这就是说，只要样本容量n取得充分大时，用样本矩作为相应总体

2、矩的估计可以达到任意精确的程度。2.矩估计量的求法设总体X的分布函数Fx(;,,,)θθθ?中有m个未知12m参数θ,,,θθ?，假定总体X的k阶矩存在，记总体X的k12m阶原点矩为α，则k1+∞kkEX=xdF(x;θ,?,θ)令α(θˆ,?,θˆ)(2.11)∫1mk1m−∞其中km=1,2,3,?,现用样本的k阶原点矩作为总体k阶原点矩的估计，即令n1k∑Xi=αk(θˆ1,?,θˆm),k=1,2,?,m(2.12)ni=1解上述方程组得θˆ=θˆ(X,X,?,X),k=1,2,?,mkk12n并以θk作为参数θk的估计量，则称θk为未知参数θk

3、的矩估计量，这种求点估计量的方法称为矩估计法。矩估计量的性质：若θk为θk的矩估计量,g()θ为连续函数，则g()θk为g()θ的矩估计量。k例2.7设总体服X从泊松分布P()λ，求λ的矩估计量。解设X,,,XX?是总体X的一个样本，由于EX=λ，可12nn得ˆ1.λ==∑XiXni=1例2.8求总体2X的均值µ,和方差σ的矩估计。解设X,,,XX?是X的一个样本，由于12n⎧X=µˆ,⎧EX=µ,⎪⎨故令⎨1n222222⎪X2=+σäµä,⎩EX=+DX()EX=+σµ,∑i⎩ni=12解之得µ与σ的矩估计量为2n2212µˆ=X,σˆ=−∑()XX

4、Sin=ni=1由此可知，无论总体X服从什么分布，样本均值X和样22本方差S分别为总体均值µ,和方差σ的矩估计量，特别n22当总体X~N(µ,σ)时，µ,和σ的矩估计分别为µˆ=X，22σˆ=S.n例2.9已知总体X服从Γ(,)αβ分布,其密度函数为α⎧βαβ−−1x⎪xefx(;,)αβ=>⎨Ґ()α,x0⎪⎩0,x≤0其中未知参数α>>0,β0,,求α和β的矩估计。解先计算总体X的一阶矩和二阶矩α+∞βαβ−−1x1∞α+−11−βxEXxx=∫edx=∫()βxde()βx0Ґ()αΓ()αβ0Γ+(1α)α==Γ()αββα2+∞21βαβ−−x

5、Ґ(2αα+)(1α+)EX=xxedx==∫0Ґ()αβα22Ґ()β⎧αˆX=,⎪ˆβ⎪由⎨nää⎪1(∑X2=αα+1)i2⎪⎩ni=1βä32a==X,βˆX解得α和的β矩估计分别为22SSnn例2.10设总体X服从区间[]θ1,2θ上的均匀分布，求θ1,和θ的矩估计。2解容易求出总体X的均值和方差分别为2θ+−θθ()θ1212EX==,DX212⎧θθ12+⎪X=⎪2由⎨2⎪2()θθ21−S=⎪n⎩12解得θ1和θ2的矩估计为θθ12=−X3,SXSnn=+3。若要估计分布区间的长度θ21−θ，可用θθ21−=23Sn.矩估计法的优点：1.

6、直观而且简便，特别是在对总体的数学期望及方差等数字特征作估计时，并不一定需要知道总体的分布函数2.矩估计都是相合估计，且在一般情况下都是渐近正态估计。矩估计法的缺点：1.当样本不是简单随机样本或总体的原点矩不存在时，矩估计法不能使用。42.矩估计法可能不惟一。例如泊松分布p()λ，样本均值X和样本方差S都是参数的矩估计。n3.样本矩的表达式与总体的分布函数Fx(;)θ的表达式无关，这表明，矩估计法有时没有充分利用总体Fx(;)θ对参数θ所提供的信息，因此，矩估计有时不一定是一个好的估计。二、最大似然估计法最大似然估计法作为一种点估计方法，是由英国统计学家

7、费歇尔于1912年提出的，随后他又作了进一步发展，使之成为一种普遍采用的重要方法。下面我们作一详细介绍1、似然函数设总体X是连续型随机变量，其分布密度为f(;)xθ，其中TTθθθθ=(,,,)?是未知参数。若(,,,)XX?X是总12m12nT体X的一个样本，则样本(,,,)XX?X的联合分布密度12nn为∏fx(,),iθ当取定xx12,,?xn后，它只是参数i=1Tθθθθ=(,,,)?的函数，记为L()θ，12mn即Lf()θ=∏(,),xiθi=15这个函数L称为似然函数。即似然函数就是样本的联合分布密度。若总体X是离散型随机变量，其分布律为(

8、1)(2)PXx{}(==px;θ),,,xxx=?,TT其中θθθθ=(,,,