概率论与数理统计第18讲

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1、第五章大数定律与中心极限定理第一节大数定律一、问题的引入二、基本定理三、典型例题四、小结概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来.也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象.一、问题的引入研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:与大数定律中心极限定理下面我们先介绍大数定律大量的随机现象中平均结果的稳定性大数定律的客观背景大量抛掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中的废品率……问题：测量一个工件时，

2、由于测量具有误差，为什么以各次的平均值来作为测量的结果？而且只要测量的次数足够多，总可以达到要求的精度？把这问题给出数学表达：这里反映了什么样的客观统计规律呢？如果工件的真值为即大量测量值的算术平均值具有稳定性。这就是大数定律所阐述的。测量的经验就是：若对任意想想：数列的收敛性定义，比较数列与随机变量序列收敛性的区别。定义：性质：回忆数列的性质，比较它们的相似和不同性。二、基本定理定理1（契比雪夫大数定律）且具有相同的数学期望及方差，则对于由切比雪夫不等式得：证明：所以关于定理1的说明:关于定理1的说明:（这个接近是概率意义下的接近）即在定理条件下,n个随机

3、变量的算术平均,当n无限增加时,几乎变成一个常数.定理1的另一种叙述:证明引入随机变量定理2（伯努利大数定律）显然根据定理1有[证毕]关于伯努利定理的说明:故而当n很大时,事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小.在实际应用中,当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.关于辛钦定理的说明:(1)与定理1相比,不要求方差存在;(2)贝努利定律是辛钦定理的特殊情况.定理3（辛钦大数定理）四、小结三个大数定理契比雪夫大数定理伯努利大数定理辛钦定理频率的稳定性是概率定义的客观基础,而伯努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定性.第二节中心极限定

4、理中心极限定理的客观背景独立同分布的中心极限定理李雅普诺夫定理德莫佛-拉普拉斯定理用频率估计概率时误差的估计中心极限定理的客观背景在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.如瞄准时的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等.观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.现在来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.当n无限增大时，这个和的极限

5、分布是什么呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量的分布函数的极限.可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布.这就是下面要介绍的中心极限定理一、定义定理4（独立同分布的中心极限定理）二、中心极限定理列维一林德伯格(Levy－Lindberg)定理注则Yn为的标准化随机变量.记所以上式可写成即n足够大时,Yn的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数.近似近似服从它表明,当n充分大时,n个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布.定理5（李雅普诺夫

6、定理）(Liapunov定理)则服从中心极限定理，即：定理5表明:(如实例中射击偏差服从正态分布)下面介绍的定理6是定理4的特殊情况.定理6（德莫佛-拉普拉斯定理）(DeMoivre--Laplace)证明：由二项分布和两点分布的关系知根据定理4得定理6表明:正态分布是二项分布的极限分布,当n充分大时,可以利用该定理来计算二项分布的概率.推论：说明：这个公式给出了n较大时二项分布的概率计算方法。例1在每组射击中，命中目标的炮弹数的数学期望为2，均方差为1.5，求在100组射击中由180到220发炮弹命中目标的概率。设Xi表示第i组命中目标的炮弹数解由题设近似

7、则y于是y例2:在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问：(1)保险公司亏本的概率有多大？(2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000元的概率至少为0.9,赔偿金至多可设为多少？y解:设X表示一年内死亡的人数，则X~B(n,p),其中n=10000，p=0.6%，设Y表示保险公司一年的利润，Y=1000012-1000X于是由中心极限定理(1)P{Y<0}=P{1000012-1000X<0}=1P{X120}1(7.75)

8、=0;yP{Y>60000}=P{1000012-