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1、常数项无穷级数一、证明下列级数发散nπn（1）lim√2=1，发散（2）limarctann=，发散（3）lim=1，发散.n→∞n→∞2n→∞n+5二、用比较法判别下列级数的收敛性1111（1）当n→∞，∼，收敛（2）当n→∞，∼，收敛2233n+n+1nn+4n5511（3）当n→∞，∼，收敛（4）当n→∞，∼，发散nnn2+33n−√nnnn+114+33（5）当n→∞，∼，发散（6）当n→∞，∼，发散n2n2n(2)22cosn1n−11（7）≤，收敛。（8）当n→∞，∼，收敛nn422+123n+13n
2、2n+111+sinn2（9）当n→∞，∼，收敛（10）≤，收敛3nnn−1n1010n2+(−1)311（11）≤，收敛（12）当n→∞，∼，收敛n√n3/233/2n√n+1nnnnn221+22（13）当n→∞，∼，收敛（14）当n→∞，∼，收敛1+3n(3)1+3n(3)5+2n2n+21（15）当n→∞，∼，收敛（16）当n→∞，∼，收敛22332(1+n)n(n+1)n221+n+nn1n+5n1（17）当n→∞，∼=，发散（18）当n→∞，∼=，收敛366n372374/3√1+n+n√n√n+n√
3、nn1111（19）当n→∞，sin，发散（20）当n→∞，∼，发散.(n)∼n1+1/nnn三、用比值法判别下列级数的收敛性an+1−1an+11（1）lim=e<1，收敛（2）lim=<1，收敛n→∞ann→∞an3an+11（3）lim=lim=0<1，收敛n→∞ann→∞n+1n+1an+1(n+1)!/(n+1)11（4）lim=lim=lim=，收敛.nnn→∞ann→∞n!/nn→∞(1+1/n)e四、判别下列交错级数的收敛性（1）收敛（2）收敛（3）lim∣an∣=3/2≠0，发散n→∞12n1（
4、4）当x>1时，f(x)=x+单调递增，则an=2=单调递减且趋于0，收敛x4n+1f(2n)（5）lim∣an∣=1/2≠0，发散（6）lim∣an∣=+∞，发散n→∞n→∞五、判别下列级数是绝对收敛，条件收敛或发散（1）绝对收敛（比值或根值判别法）（2）绝对收敛（比值判别法）（3）发散（比值或根值判别法）（4）条件收敛（莱布尼兹判别法）（5）绝对收敛（6）发散（limn→∞∣an∣=1≠0）（7）条件收敛（莱布尼兹判别法）（8）绝对收敛（比值判别法）3（9）发散（比值判别法）（10）绝对收敛（∣an∣∼1/n
5、）n（11）绝对收敛（∣an∣≤1/4）（12）绝对收敛（比值或根值判别法）（13）绝对收敛（比值判别法）（14）绝对收敛（比值或根值判别法）−2/3（15）发散（an>2n）（16）条件收敛（17）绝对收敛（比值判别法）（18）条件收敛（19）收敛（根值判别法）（20）绝对收敛（根值判别法）幂级数一、求下列幂级数的收敛半径和收敛域（1）R=1，K=[−1,1)（2）R=1，K=(−1,1]（3）R=3，K=(−3,3)（4）R=1，K=(−1,1)（5）R=∞，K=(−∞,∞)（6）R=0，K={0}（7）R=
6、1/4，K=(−1/4,1/4)（8）R=3，K=[−3,3)（9）R=1，K=(0,2)（10）R=2，K=(−4,0]二、求下列幂级数的和函数2n+1(2n+2)x222（1）lim，当x<1时，即
7、x
8、<1，级数收敛；当x>1时，即
9、x
10、>1，级数发散，则∣2n−1∣=xn→∞2nx收敛半径R=1。2n−1∣当x=1或x=−1，∣2nx=2n→∞（n→∞），级数发散，则收敛域K=(−1,1)。∞2n−1令s(x)=∑2nx，由幂级数逐项积分的性质有，对任意的
11、x
12、<1n=1∞∞2xx2n−12nx∫s(x)
13、dx=∑∫s(x)2nxdx=∑x=002n=1n=11−x则2dx2xs(x)==，
14、x
15、<12)22dx(1−x(1−x)an（2）收敛半径R=lim∣a∣=2。n→∞n+1∞n−1∞(−1)1当x=−2时，为交错级数∑，收敛；x=2时，级数为∑发散，则幂级数的收敛域n=12nn=12n为K=[−2,2)。∞n−1∞nxx设s(x)=∑，则xs(x)=∑，由幂级数逐项求导的性质有，对任意的
16、x
17、<2nnn=1n2n=1n2∞n∞n−1ddx1x11dx[xs(x)]=∑dx(n)=2∑(2)=2(1−x/2)
18、=2−xn=1n2n=1于是xdxxs(x)=∫=ln2−ln(2−x)2−x0当x≠0时，ln2−ln(2−x)s(x)=x再由幂级数和函数的连续性可知ln2−ln(2−x)1s(0)=lim=（洛必达法则求极限）x→0x2则和函数为ln2−ln(2−x),−2≤x<2且x≠0,s(x)={x1/2,x=0.三、将下列函数展出成幂级数∞∞11nnn（1）f(x)===∑
