数学物理方法 charpt1 (周明儒)new

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1、数学物理方法：数学物理方法：用数学思想方法解决物理用数学思想方法解决物理问题，是一门实用性很强的学科。问题，是一门实用性很强的学科。在许多领域（如电磁场理论，量子力学，固体物理，材料物理，流体力学等）中都有应用。第一篇复变函数论第二篇数学物理方程第一章第一章复变函数复变函数1.1复数与复数运算1.2复变函数1.3导数1.4解析函数1.5平面标量场1.6多值函数*实变函数f(x)→复变函数f(z)1.1复数与复数运算1.1.1复数的基本概念1.定义形如z=x+iy的数称为复数，其中x,y为实数。x=Rez，y=Imz分别为z的实部和虚部，i为虚数单位。23ii=,1i=−,i=−iz平

2、面注意:zx==00⇔,y=0虚轴P复数z⇔复平面上的点(x，y)z=+xiy⇔矢量OP复数与平面向量一一对应实轴代数表示：z=x+iy注意：复数不能比较大小2.复数的三角表示极坐标下，z=+ρ(cosϕisin)ϕρ⎧⎪=+22⎧=cosρxyxρϕ其中⎨⎨⎪=arctg(/yx)⎩y=ρsinϕ⎩ϕρ称复数的模，称该复数的幅角。ϕ注意：幅角的多值性,由于余弦函数的周期性，幅角不能唯一确定，记幅角ϕ=Argzz=+arg20kkπ，（=,±1,......)幅角主幅角：02≤argz≤π注意：0的幅角无意义。3.复数的指数表示iϕz=ρeρiϕ欧拉公式：e=(cosϕ+isin)ϕ

3、iiππ2eie==,1*4.共轭复数的表示zz=x+iy*−iϕz=xiy−=−=ρρ(cosϕϕisin)e*22zzxi==()+y()xi−yz≠z注意：在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差2kπ1.1.2无限远点定义：复数平面上复数的模为无限大的复数所对应的点。无穷远点ρ复球面上的一点PUP复平面上的一点zO1.1.3复数的运算设z=x+iy和z=x+iy是两个复数1112221.和z=z+z=(x+x)+i(y+y)1212122.差z=z-z12z++zz≤z=(x-x)+i(y-y)12121212z−−zz≥z1212iϕz=ρe3.积zz=

4、()xx−++yyi()xyxy1212121221=+ρρϕ⎡⎤⎣⎦cos(ϕ)isin(+ϕ+ϕ)121212=ρρϕexp[i(+ϕ)]12124.商两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加zxx+−yyxyxy112121221=+i2222zxy++xy22222r1=−⎡cos(ϕϕϕ)isin(+−ϕ)⎤⎣1212⎦r2r1=exp[i(ϕ−ϕ)]12r2iϕz=ρe5.幂与开方nninϕnze=+ρρ=(cosnnϕisinϕ)inϕϕnzennϕ/(cosisin)=+ρ=ρnnϕ=Argzz=+arg20kkπ，（=,±1,......)n由于幅角ϕ不唯一，ρ可以取

5、多个值。1004求1(+)i和1+i复数可以用实部与虚部表示，故复数的研究可以归结到对应实数的研究。1.2复变函数1.2.1复变函数的定义定义：设点集E是复数z=x+iy的集合。对于E中的每一个复数z,按照一定的规律，有一个或多个复数值w与之相对应，则称w是z的函数，或复变函数，记作wz=f(),z∈E实变函数f(x)复变函数f(z)复变函数论中，着重研究的是解析函数。1.2.2区域的概念1区域：满足一定条件的点集，用B表示。B2邻域：平面上以z0为圆心，以任意小的正实数ε为半径作一圆，则圆内的所有点组成的集合，称为z的邻域0εεz0z00<

6、z-z

7、<ε

8、z-z

9、<ε003内点：若

10、z0及其邻域均属于点集E，则称z0为该点集的内点。4外点：若z0及其邻域均不属于点集E，则称z0为该点集的外点。5境界点：若在z0的每一个邻域内，既有属于E的点，也有不属于E的点，则称z为该点集的境界点。0B境界线：所有境界点的全体。z16区域满足的两个条件：z2（1）全由内点组成（2）具有连通性p7闭区域与开区域闭区域区域B连同它的境界线一起构成的区域，记为B开区域全由内点构成的区域，记为B。BB1.2.3复变函数举例2nfzaazaz()=+++......az(n为整数n)012n2naazaz+++......az012nfz()=(,nm为整数n)2mbbzbz+++...

11、...bz012nfz()=−zazx+iyxfzee()===e(cosyi+sin)yT=2πi1iz−izfz()==sinz(e−e)T=2π2i1iz−izfz()==cosz(e+e)T=2π21zz−f()zs==hz(e−e)T=2πi21zz−f()zc==hz(e+e)T=2πi2iArgzfz()==lnzln(ze)=+lnziArgzsslnzfzze()==(s为复数)1.2.4复变函数与实变函数的关系若复变函数的实部与虚部分别