数学物理方法charpt3 周明儒new

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1、第三章第三章幂级数展开幂级数展开•3.1复数项级数•3.2幂级数•3.3Taylor级数表示•3.4解析延拓•3.5Laurent级数表示•3.6孤立奇点的分类3.1复数项级数3.1.1复数项级数∞形如ww12++++=""wkk∑w(1)概念k=1的表达式被称为复数项级数，其中wuv=+ikkknnn(1)式的前n项之和为∑wuvk=+∑∑kikk===111kknnn∴lim∑∑∑wuvkkk=+limilim(2)nnn→∞→∞→∞kk===111k故复数项无穷级数的收敛性问题归结为两个实数项级数的收敛问题。实数项级数的许多性质和规律可以移植到复

2、数项级数。∞ww12++++=""wkk∑w(1)k=13.1.2柯西收敛判据1判据（收敛必要条件）对任意给定的小正实数ε，必有N存在，使得n>N时，np+∑wk<εkn=+1其中p为任意正整数。2绝对收敛若复数项级数（1）各项的模（这是正的实数）组成的级数∞∞22∑∑wukk=+vk(3)kk==11收敛，就称级数（1）绝对收敛。∞ww12++++=""wkk∑w(1)k=13绝对收敛级数的特点（1）绝对收敛的复数项级数必然是收敛的。且与级数各项的先后顺序无关。（2）两个绝对收敛的复数项级数之积是收敛的，且等于两个级数的和之积。3.1.3一致收敛级数

3、特别讨论复变项级数∞ww12()zz++()""++wkk((z)=∑wz)(6)k=1它的各项是z的函数。1一致收敛的充分必要条件在某个区域B（或曲线l上）各点z，对于任一给定的小正数ε，必有Nz()存在，使得当nN>()z时，np+∑wzk()<εkn=+1式中p为任意正整数。如果N(z)与z无关，则称复变项级数在B或曲线l上一致收敛。2一致收敛的性质∞级数∑wzk()在B内一致收敛，且每一项wzk()连续性k=1连续，则该级数在B内连续∞wz()wz()级数∑k在曲线l上一致收敛，且kk=1可积性在曲线l上连续，则∞∞∫∫∑∑wzdzkk()=w

4、zdz()llkk==113.2幂级数3.2.1幂级数∞k2概念形如∑azzk()−=+−+−+00aazzazz01()().20..()1k=0的级数被称为以z0为中心的幂级数，其中ak是复变常数。式（1）各项模构成正项级数2kaazz+−+−+()().azz..azz(−)+...(2)001002k3.2.2收敛半径与收敛圆1.比值判别法若k+1azzkk++11−0a⎧<1（2）收敛，（1）绝对收敛lim=limz−zk0⎨nn→∞az−z→∞a>1k0k⎩（2）发散，（1）发散2kaazz+−+−+−+()azz()...azz()...

5、(2)01020k03.2.2收敛半径与收敛圆1.比值判别法k+1azzkk++11−0a⎧<1（2）收敛，（1）绝对收敛lim=limz−zk0⎨nn→∞az−z→∞a>1k0k⎩（2）发散，（1）发散ak令R=lim()3n→∞ak+1R⎧⎪()zz−R（2）发散，（1）发散⎩0如以R为半径（z0为圆心）作圆CR，则在圆内（2）收敛，（1）绝对收敛。在圆外，（2）和（1）式均发散。我们称这样的圆为幂级数的收敛圆，R称为收敛半径。2kaazz+−+−+−+()azz()...azz()...(2)01

6、020k02.根值判别法若k⎧<1（2）收敛，（1）绝对收敛limkazz−k0⎨n→∞⎩>1（2）发散，（1）发散相应地，收敛半径R定义为R1R=limk→∞kak在半径RR1<的圆内，级数（1）式绝对收敛。∞k2∑azzk()−=+−+−+00aazzazz01()().20..()1k=0小结：复数项幂级数：∞k2∑azzk()−=+−+−+00aazzazz01()().20..()1k=02kaazz+−+−+()().azz..azz(−)+...(2)001002k收敛半径的求法RaD'Alembert公式kR=limk→∞ak+11Ca

7、uchy(根式)公式R=limk→∞kak3.2.3例题2k例1求幂级数1.+tt+++..t...的收敛圆，t为复数ak解收敛半径R=lim=1k→∞ak+1故收敛圆是以t=0为圆心，R=1为半径的圆，收敛圆内部可以表示为t<1本例是几何级数，公比为t,所以前n项的和nn+1kn21−t∑tt=1.+++tt..=k=11−tnn+1k1−t1如，t<1则lim∑t=lim=nn→∞k=1→∞1−t1−t即在收敛圆内，幂级数的和为1(1)−t，即2k11++t++tt......(=t<1)1−t246例2求幂级数1−zzz+−+...的收敛圆，z为

8、复数2解将记z作t,则上述级数为1−ttt+−+23...ak收敛半径R=lim=1k→∞ak