数学物理方法 charpt2 (周明儒)

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1、第二章复变函数的积分2.1复变函数的积分2.2柯西定理2.3不定积分2.4柯西公式2.1复变函数的积分2.1.1定义B设l是复平面z上某分段光滑的曲lξkzzk线，连续函数f(z)在l上有定义。k−1分割→求和z1[,]zz在每一小段kk−1上任取一点ξk，A，z0做和式nSfznk=−∑()(ξkzk−1)k=1当n→∞，若极限limSn存在，且与ξ的选择无关，则将此n→∞k极限定义为函数f(z)沿l的路积分，即nf()zdz=limS=−limf(ξ)(zz)∫nk∑kk−1nn→∞→∞lk=1Bnfzdz()=l

2、imS=−limf(ξ)(zz)∫nk∑kk−1lnn→∞→∞lk=1zzkk−1将和zkkk=xy+ifzuxy()=(,)+ivxy(,)代入上式，有z1A，z0∫∫fzdz()=−++uxydxvxydy(,)(,)i∫vxydx(,)uxy(,)dylll此即复变函数f(z)沿曲线l的积分计算公式。可见，复变函数的积分，归结为两个实变函数的线积分。实变函数线积分的许多性质也适用于复变函数的路积分。2.1.2复变函数积分的性质1常数因子可移到积分号外。∫∫CCf()zdz=f()zdzll2函数的和的积分等于各函

3、数积分的和。3反转积分路径，积分变号，即方向性∫∫fzdz()=−fzdz()l−l4全路径上的积分等于各段上的积分之和，即若lll=+⇒=+∫∫∫f()zdzf()zdzf()zdz12lll122.1.3路积分的计算方法举例yl2z=1+ill1计算积分I=Rezdz,I2=∫Rezdz21∫l1l2l1xo两条路径的起点和终点相同，均自z=0到z=1+i解Rez=xdz=dx+idy结论：复变函数的积分111与路径有关。I=xdx+×1idy=+i1∫∫200实际上，w=Rez=x不是解111Ii=0×+dydx

4、x=析函数，后将证明，解析函2∫∫200数的积分与路径无关。2.2柯西定理（Cauchy）2.2.1单连通区域上的Cauchy定理1单通区域定义：在区域内作任何简单的闭合围线，围线内的点都属于该区域，例如围线：逐段光滑的简单闭合曲线。l围线正方向的规定：当观察者绕围线环B行时，如围线内部在观察者的左方，则规定该环行方向为围线的正方向，反之为负向。2Cauchy定理设函数f(z)在闭单连通区域B内解析，则沿B内的任一分段光滑的闭合曲线l有lî∫fz()dz=0lB证明：设z=+xiy和fz()=u(x,y)+ivx(,y

5、)⇒îî∫∫f(z)dz=−u(,xy)dxv(x,y)dy+iî∫v(,xy)dx+u(x,y)dylll∂∂QP由格林公式î∫∫PQdx+=dy∫()−dxdy即积分与∂∂xylS∂∂vu∂u∂v路径无关⇒=î∫∫fz()dz∫−(+)dxdy+i∫∫(−)dxdy∂∂xy∂x∂ylSS∂vu∂∂uv∂由C-R条件，知=−,=⇒=î∫fz()dz0∂xy∂∂xy∂lCauchy定理推广如果函数f(z)在单连通区域B内解析，在B上连续，则沿B上的任何一条光滑的闭合曲线l（当然包括B的边界）有î∫fzdz()=0llB

6、举例y1-1+i证明：∫2dz=0z+2z+2z

7、

8、=1-1O1x-1-i2.2.2复连通区域上的Cauchy定理1复通区域（1）奇点：如果函数f(z)在某点（或子区域上）不解析（不可导或不连续或没有定义），这样的点称为奇点。（2）复通区域：在区域B内，把那z1些奇点挖掉而形成的带孔区域。（3）境界线正方西的规定：z0同围线正方向的规定，即观察者沿正方向B行进时，区域总在观察者的左边。2复通区域上的Cauchy定理（1）内容如果函数f(z)是闭复通区域B上的单值解析函数，则nîî∫∫fzdz()+∑fzdz()=0li

9、=1li式中l为外境界线，诸l为内境界线，积分均沿境界线的正i方向进行。l3（2）证明l2思路：做切割线连接外境界线与所有l1内境界线，复通区域变成单通区域。lBA'AB'Bl⇒1l2D'lD'BC（2）证明C思路：做切割线连接外境界线与所有内境界线，复通区域变成单通区域。由单通区域的Cauchy定理，得A'DBî∫fzdz()+∫f()zdz+î∫fzdz()+∫fzdz()+∫f()zdz+î∫lf()zdzll1'2ABC'Cn∫fzdz()+...=0⇒=î∫∫fzdz()+∑îfzdz()0'lliDi=1A

10、复通区域的Cauchy定理'AB'B如果函数f(z)是闭复通区域Bl1上的单值解析函数，则l2nD'lîî∫∫fzdz()+=∑fzdz()0Dli=1lC'iBC式中l为外境界线，诸l为内境界线，积分均沿境界线的正i方向进行。n说明：îî∫∫fzdz()=−∑fzdz()li=1lin⇒=[[∫∫fzdz()∑fzdz()lli