数学物理方法讲义new

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1、《数学物理方法》（MethodsofMathematicalPhysics）《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇复变函数（38学时）绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程（26学时）第九章数理方程的预备知识第十章

2、偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪论含义使用数学的物理——（数学）物理物理学中的数学——（应用）数学MathematicalPhysics方程常微分方程偏微分方程——数学物理方程复数1.数的概念的扩充正整数（自然数）1，2，…运算规则＋，－，×，÷，，－负数0，-1，-2，…整数…，-2，-1，0，1，2，…÷有理数（分数）整数、有限小数、无限循环小数无理数无限不循环小数实数有理数、无理数虚数复数实数、虚数、实数＋虚数2.负数的运算符号虚数单位，作为运算符号。3.作为方程的解（）（）4.数学运算的需要——数系的完备性、自洽性5.物理学的需要——平面矢量、二维数组

3、第一章复变函数基本知识4学时复数表示代数式三角式指数式几何意义运算规则复变函数←→常用初等复变函数指数函数三角函数双曲函数对数函数根式函数反三角函数幂函数一般指数函数第二章复变函数微分4学时复变函数的极限复变函数的连续性复变函数的导数解析函数在点，及其某一邻域内的每一点可导。在区域，处处可导。连续、可导、解析三者关系在点，如可导，则连续。在点，如解析，则可导。即在点，连续、可导、解析三个条件依次变强。而在区域，可导与解析等价。柯西---黎曼方程可导、解析、柯西---黎曼方程三者关系可导的必要条件是，，，存在且柯西---黎曼方程成立。可导的充分必要条件是，，，连续且柯西--

4、-黎曼方程成立。在区域，解析的充分必要条件是，，，连续且柯西---黎曼方程成立。条件，，，连续等价于全微分，存在或称，处处可微调和函数共轭调和函数解析函数、调和函数、共轭调和函数三者关系在区域，如解析，则，调和，从而与共轭、与共轭。构造解析函数调和函数+柯西---黎曼方程→解析函数常用初等复变函数具有解析性第三章复变函数积分4学时复变函数的积分复变函数可积条件充分条件沿曲线连续必要条件沿曲线有界柯西积分定理如在单连通区域内解析，为内任一周线，则推论解析函数积分与路径无关如在单连通区域的边界（分段光滑）上连续，则对多连通区域的边界，亦有可表示为对内任一点，有柯西积分公式推论

5、设为简单闭曲线，为的外部区域，有限。如在内，则如不在内，则此时无意义。第四章幂级数4学时4—1复级数复级数复级数的收敛复级数的绝对收敛复级数收敛的必要条件复级数收敛的充分条件收敛复级数收敛的充分必要条件1对任意小，有；当，2、收敛复级数绝对收敛的必要条件收敛复级数绝对收敛的充分必要条件、收敛4—2复函数级数复函数级数复函数级数的收敛在点对任意小，有（与点有关）；当，复函数级数的一致收敛在区域对任意小，有（与点无关）；当，复函数级数一致收敛的充分必要条件对任意小，有（与点无关）；当，复函数级数基本性质--------------------------如，且收敛则在区域绝对

6、且一致收敛---------------------------在区域，如连续，且一致收敛则连续---------------------------沿曲线，如连续，且一致收敛则----------------------------在区域，如解析，且一致收敛则解析常用级数收敛发散收敛发散收敛收敛4—3复幂级数在收敛在绝对一致收敛收敛半径级数收敛判别法收敛不定发散收敛不定发散4—4幂级数展开对，如非奇点，在Taylor级数对，如孤立奇点，在Laurent级数闭合曲线：对，如非奇点时，由柯西积分公式时，由解析函数性质4—5复函数的零点与奇点复函数的零点复函数的奇点奇点分类无

7、穷远点性质4—6幂级数求和第五章留数定理及应用简介2学时留数定义解析，孤立奇点，C：-------------------------------解析，孤立奇点，C：留数定理周线包围区域奇点留数计算留数理论应用第六章付里叶级数6—1付里叶（Fourier）级数（复数形式）：令，则如而是区间上的正交完备函数族故从而令可将解析开拓到区间6—2付里叶级数（实数形式）令付里叶级数收敛充分条件——Dirichlet定理连续有限个极值点不连续有限个间断点则可展为付里叶级数收敛充分条件（严格）连续绝对可积例题例题例题常用付里叶级数正弦波（奇