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1、http://www.paper.edu.cn*应用吸收边界条件求解非线性Schrödinger方程张艺书，罗香怡，刘学深（吉林大学原子与分子物理研究所，长春130012）E-mail：yshzhang@email.jlu.edu.cn[摘要]采用Xu等(Phys.Rev.E74,037704,2006)提出的吸收边界条件数值求解了一维非线性Schrödinger方程，分别研究了一个孤立子和两个孤立子随时间的演化，讨论了两个孤立子的运动速度对波函数随时间演化的影响。[关键词]非线性Schrödinger方程
2、，吸收边界条件，孤立子一引言非线性Schrödinger方程是物理学中的一个重要物理模型，可以用来描述许多物理问题，[1]例如：在非线性光学中它可以描述在非线性介质中光束的传播、等离子体物理中非线性磁[2][3][4][5]流体动力学、深水中的引力波、玻色爱因斯坦凝聚中凝聚体的演化、以及激光聚变等等。非线性Schrödinger方程可写成如下形式22∂∂ψψ(,)xt=(,)xt2iV==−+()(,)xψψxt+f((,))(,)xtψxt，(1)2∂∂tm2x它描述的是质量为m的粒子在空间x∈(,−∞∞
3、)且势能为Vx()下的运动，并且满足归一化条件+∞*∫ψψ(,)(,)xtxtdx=1，∀t(2)−∞为了数值求解非线性Schrödinger方程(1)，通常采用传统的Dirichlet边界条件(0ψ=)或∂ψNeuman边界条件(0=)，对于散射问题或强场物理问题，这两种边界条件已经不再适用，∂x因为在边界处使用时会使波函数有较大的反射率。为了消除波函数在边界处的反射，Engquist[6]和Majda提出了吸收边界条件，它在一个有限的计算区域中对除边界以外的解有很小的影[7-8]响。Shibata和Ku
4、ska应用吸收边界条件求解了线性Schrödinger方程并得到了很好的结果。[9]Xu和Han应用吸收边界条件求解了非线性Schrödinger方程，数值模拟了一个孤立子的运动和具有排斥相互作用的非线性Schrödinger方程。[9]本文中，我们应用Xu和Han提出的吸收边界条件求解了非线性Schrödinger方程，首先考虑了一个孤立子的运动，再以两个孤立子做相向运动为例，数值模拟了它们随时间演化。*高等学校博士学科点专项科研基金(20050183010)资助课题.张艺书(1981-)，女，硕士生，从
5、事非线性物理方面的研究1http://www.paper.edu.cn二吸收边界条件[9]为了方便求解方程(1)，在边界附近应用劈裂算子方法将它分成如下两个方程，即线性方程22∂∂ψ(,)xt⎡⎤=iV==−⎢⎥+()(,)xψxt，(3)2∂∂tm⎣⎦2x和非线性方程∂(,)xt2i==f((,))(,)ψψxtxt，(4)∂t(4)式是一个普通的常微分方程，不需要额外的边界条件。现在我们来求解(3)式。为了建立吸收边界条件，我们假设在空间无穷远处Vx()0→，(3)式的波函数在边界附近为平面波的形式解ψ
6、(,)exp(xti=−−[ωtkx)]，(5)其中k为波矢，ω为频率。从方程(3)我们可以得到关于波矢k的一个散射关系2kV=−ω()x，可写成如下形式kV=±ω−()x，(6)其中""+代表波函数运动到了x=∞处，而""−代表波函数运动到了x=−∞处。为了将(6)式转换为x−t空间中的方程，将平方根做一个近似，这样变换后能很容易的得到边界上的微分方程。为了做近似将(6)式转换为1⎡ω−V⎤2kk=±⎢⎥，(7)02k⎣0⎦其中k是k的一个展开点。为了得到这个近似我们采用f()xx=在x=1处的(1,1)
7、Padé00近似从而(6)式变为13+zkk=±，(8)03+z2∂∂其中zV=−()ωk。接着做如下替换：ki⇔−，ω⇔i，将它们代入到(8)式便可0∂x∂t得偏微分方程222223==kk00∂∂ψψ(,)xtx22(,)t∂ψ(,)xt−−+iV==()=±−±==kV(3)ψ(x,t)3ik，(9)0022mxt∂∂∂xm∂t这就是(3)式在边界附近近似的微分方程，其中""+代表在右边界，""−代表在左边界。2http://www.paper.edu.cnL设我们的求解空间范围为[-L,L]，并且将
8、此空间平均分为2J份，则空间步长Δ=x，J设x=Δjx，其中jJJ=−−+,1,1""−,0,1,1JJ−,；tnt=Δ，Δt为时间步长，其中jnnnn＝1,2,3…；并将在点(xt)处的波函数简记为ψ。j,j[10]在计算的内区域[-L,L]，应用Crank-Nicholson格式来离散(1)式可得：nn+1ψψ−jji==Δt22⎛⎞ψψψψψψnnnnnn+++111−+22−+⎡⎤ψnn+1+ψψnn+1
