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1、第七章非线性方程数值求解NumericalAnalysis§7.1一元方程求根1）问题的提出满足函数方程f(x)=0(1)的x称为方程(1)的根，或称为函数f(x)的零点。如果函数(x)可分解为(x)=(xs)mg(x)且g(s)0,则称s是(x)的m重零点或(x)=0的m重根。当m=1时，称s是(x)的单根或单零点。若f(x)不是x的线性函数,则称(1)为非线性方程,特别地,若f(x)是n次多项式，则称(1)为n次多项式方程或代数方程。2理论上已证明，对于次数n<=4的多项式方程,它的根可以用公式表示
2、,而次数大于5的多项式方程,它的根一般不能用解析表达式表示.因此对于f(x)=0的函数方程,一般来说,不存在根的解析表达式,而实际应用中,也不一定必需得到求根的解析表达式,只要得到满足精度要求的根的近似值就可以了。常用的求根方法分为区间法和迭代法两大类。求根问题包括：根的存在性、根的范围和根的精确化。求根方法中最直观最简单的方法是二分法。32)预备知识定理1.(根的存在定理)假设函数y=f(x)Ca,b,且f(a)·f(b)<0,则至少存在一点x(a,b)使得f(x)=0.(并称区间(a,b)为有根区间)定理
3、2.假设函数y=f(x)在a,b上单调连续,且f(a)·f(b)<0,则恰好只存在一点x(a,b)使得f(x)=0定理3.假设函数y=f(x)在x=s的某一邻域内充分可微，则s是方程f(x)=0的m重根的充分必要条件是41)问题给定方程f(x)=0,设f(x)在区间[a,b]连续,且f(a)f(b)<0,则方程f(x)在(a,b)内至少有一根,为便于讨论,不妨设方程f(x)=0在(a,b)内只有一个(重根视为一个)实根，求满足精度要求的近似值实根。2)概念及基本思想概念：二分法也称对分区间法、对分法等，是最简单
4、的求根方法，属于区间法求根类型。基本思想：利用连续函数的零点定理，将含根区间逐次减半缩小，就可以构造出收敛点列来逼近根。二分法53)构造原理定理1.(根的存在定理)这个原理指出了根的存在区间可由两端点处的函数值是否反号确定，那么注意到，将含根区间分为两个长度相等的子区间后，在这两个子区间上也可利用零点原理确定根在那个子区间上，如此继续下去就达到将含根区间逐步缩小的目的，此时，在这一些相互包含的子区间中构造收敛的数列将它收敛于根，见下图6abξx1x2x3xf(x)74)步骤89101xx*收敛比较慢的情况：控制循环
5、（K）的方法：11由得因此只要对分次，则有注：因为为的一个端点，所以将区间对分后，取的中点作为的近似值，满足12①简单并保证收敛;②对f(x)要求不高(只要连续即可).①无法求复根②收敛慢(仅与一个以1/2为比值的等比级数相同)调用一次求解一个[a,b]间的多个根无法求得二分法的优缺点13确定根所在的范围［a,b］对有的函数也是一件困难的事。所幸的是，在实际应用中，根据其物理或工程的背景，在绝大部分场合是不困难的。对给定的函数也有确定范围的方法。14第七章非线性方程数值求解NumericalAnalysis§7.2
6、不动点迭代法及其收敛定理迭代法是求解非线性方程近似根的一种方法，这种方法的关键是确定迭代函数(x)，简单迭代法用直接的方法从原方程中隐含地求出x，从而确定迭代函数(x)，这种迭代法收敛速度较慢，迭代次数多，因此常用于理论中,Newton迭代法采用另一种迭代格式,具有较快的收敛速度，由牛顿迭代法可以得到很多其他迭代格式。迭代法求非线性方程的根16简单迭代法(基本迭代法)迭代法的建立与收敛性（1）17需要讨论的问题首先期望每个xk都在(x)的定义域上,保持有界而且收敛到精确解;如何选取适合的迭代函数(x);迭代函
7、数(x)迭满足什么条件,迭代序列收敛到精确解,收敛速度如何;怎样加速序列{xk}的收敛速度.18定理7.1(压缩性)说明:条件(2)可用更强更便于应用的条件代替:（映内性）(2)(3)19证:1o20：设方程在区间内有根，则有由故据此反复递推有故当时迭代值,即证.910定理7.1指出:只要构造的迭代函数满足由(2)式,只要因此,当迭代就可以终止,迭代终止的判断准则注：L越小，收敛越快。23改进条件：24改进条件：25P245例7.3.226定义1：如果存在的某个邻域，使迭代过程对于任意初值均收敛，则称迭代过程在根邻
8、近具有局部收敛性。定理7.2设为方程的根，在的邻域存在且连续并满足,则迭代过程局部收敛。13例解:本题迭代函数有两种构造形式:该迭代不能保证收敛.(2)此迭代收敛.(1)28迭代法的收敛阶(描述收敛速度)定义2.:设若有实数p>0,使则称序列是p阶收敛,相应的迭代法称为p阶方法.特别地,p=1,称线性收敛;1
