04_非线性方程求解

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1、第四章非线性方程数值求解基本内容1．知道方程的分类2．了解如何作根的搜索3．不动点迭代的操作：，k=0，1…4．收敛性定理：有2个不同意义下的收敛定理。全局收敛：（1）定义域条件：时，；（2）Lipschitz条件：（1）（2）局部收敛：则为m阶收敛，5．迭代加速（1）松弛法（2）Aitken法和Steffenson法6．牛顿法二阶收敛，7．割线法8．代数方程求根一．基本题型之一：给定非线性方程组，选择适当的解法求出近似根基本解法有二分法，不动点迭代法，牛顿法（也是不动点迭代的一中）和割线法等，有时需要用有关的加速法。1．用二分法求解方程=0，使精度，

2、并估计最小二分次数。解：设。因为，，故在[1,2]中，方程有零点。又因，而，，由单调性可知，在[1,2]中有唯一零点。（1）先估计二分最少次数。题目要求，这与教材中的精度要求是不一样的，故不能直接用教材里给出的估计迭代次数的公式，需要另行推导，请同学们注意此类“陷阱”。因为，，，所以要根据两种可能情况来确定的大小：（注：下图中打印的同学未能把等打在的中点，所以大家看得时候要当心——周国标）在这两种情况下：已知要求，即有，解得，即最小二分次数为6次。（2）具体计算结果如下表：k0121.511.521.750.2521.51.751.6250.12531

3、.6251.751.68750.062541.68751.751.718750.312551.718751.751.734380.0156361.718751.734381.726560.00781故，此解满足2．求解方程：。（1）该方程有几个根；（2）用迭代法求出这些根，精确到四位有效数字。解：一般而言，要先确定方程的根的存在区间，把握函数在区间的单调性来确定方程根的个数，然后用牛顿法求解。可以先大致画图，判断根的情况。（1）如方程有根，则，则，即。记，则。在内，求解的根（即求的平稳点），解出：当时，；当时，又，，故方程在内有唯一根。（2）用牛顿法，

4、取，，取，是为了使尽可能靠近，使牛顿迭代的收敛性得到保证。计算结果如下：；；至此，已有1.029，四位有效数字了，迭代结束，取。3．求解方程最大根。（1）写出求解此方程的最大根的不动点迭代公式；（2）确定迭代收敛的条件；（3）求出方程的最大根，计算过程取5位有效数字，精确度要求为。解（1）首先要确定最大根的所在空间，而且为单调区间，即在该区间中有单根，这是选取初始值的前提。然后进行迭代。记，根据的定义，在有定义。当，，在此区间，为单调减函数。当时，，在此区间，为单调增函数。，，故和为方程的有根区间，且在每个区间中，只有一个根。为此，方程最大根在内，构造

5、迭代格式其迭代函数为。（2）。当，，故满足在区间内的不动点迭代收敛条件，迭代格式收敛。（3）取。则；；；，因，故迭代停止。取。4．判断方程（1）；（2）各有几个实根，并确定定位区间。解：（1）为了好作图像，改写原方程为。分别作，的图像在同一坐标系内。易知有2个实根，一个在区间，另一根要计算一下：；故在区间间，还有一个根。（2）；时，，在此区间，为单调减函数。时，，在此区间，为单调增函数。试算一下：x-203-+--+故有三个零点区间，，。5．用迭代法求方程的最小正根，要求精确到4位有效数字。解：由图解法可知，之间有个根，且为最小的根。也可用解析法定位。

6、取；。，，，故为有根区间，且只有一根。将方程改写为不动点方程：。，即。因故不动点迭代式在区间[0,0.5]上收敛，且有唯一解。取。6.当R取适当值时，曲线相切，求出R试用迭代法求出切线的横坐标的近似值。（要求计算结果不少于4位有效数字）解：因圆半径未定，故先从来计算，切点处的斜率：由得；而隐函数确定的可从（*）中解出。两曲线相切，切点处的斜率应相同，故把代入（*）,且在切点处，这样有，即切点的横坐标满足方程，即。记作試算，又，故中单调，有惟一的根。构造迭代格式迭代函数，故迭代收敛。取初值（4位）。7.分别用不动点迭代法和Aitken加速法求在区间[3,

7、4]上的近似根，要求误差不超过，并对两种方法结果作出比较。解：因为和在[3，4]上的值均较大，故对两边取对数，得不动点方程上述不动点方程的不动点函数在区间[3,4]上为单调递增函数。经试算：两者均落在[3，4]区间中，满足定义域条件。另一方面，在[3，4]上为单调减函数，且。因此，不动点函数在区间[3，4]上满足不动点迭代收敛的条件，不动点迭代在区间[3，4]上有惟一的解。构作迭代格式，取初值，得，取，显然收敛得很慢。所以下面改用Atiken法加速。记，作，取，则有。于是有，，已经达到精度要求了，取使用Aitken法加速只计算了6次（）就达到了迭代要求

8、，可见Aitken法加速很快。8.求方程的根。解：本题形式已构成了一个不动点迭代方程，其迭代函