资源描述：
《复变函数习题一》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：1i（1）（2）32+i(1ii−)(2−)13i821（3）−（4）−iii+−4ii1−13−2i解：（1）z==，32+i1332因此：Rezz=,Im=−，13131232zzz==,arg−=arctan,+i1331313iii−3+（2）z===，(ii−−1)(2)13−i1031因此，Rezz=−=,Im，10101131zz==,argπ−=arctan,z−−i103101013ii3335−−i（3）zi=−=−+=，ii12−235因此，Rezz=,Im=−，3234535+izzz==,
2、arg−=arctan,232821（4）ziii=−+41−=−+−=−+41ii3i因此，Rezz=−=1,Im3，zz==10,argπ−=arctan3,z−13−i2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i（2）−+13i（3）ri(sinθ+cos)θ（4）ri(cosθ−sin)θ（5）1cos−θ+≤isin(0θθ≤2)ππππiiie=+=cossin2解：（1）22222πi2(cossin)23（2）−+13i=+=ππie33πππ()−θi2（3）ri(sinθ+cos)θ=−rir[cos(θθ)+−sin()]=e22−θi（4）ri(
3、cosθ−sin)θ=−rir[cos(θθ)+−sin()]=e2θθθ（5）1cos−+=θθiisin2sin+2sincos222π−θθπ−−θπθθi=+=22sin[cosiesin]2sin22223．求下列各式的值：5100100（1）(3)−i（2）(1++−ii)(1)2(1−+3)(cosiiθsin)θ(cos5ϕ+isin5)ϕ（3）（4）3(1−−ii)(cosθsin)θ(cos3ϕ−isin3)ϕ3（5）i（6）1+i5ππ5解：（1）(3)−i=−[2(cos()+−isin())]66555ππ=−2(cos()+iisin(−=))−+
4、16(3)6610010050505051（2）(1++−ii)(1)=(2)ii+−(2)=−2(2)=−2(1−+3)(cosiiθsin)θ（3）(1−−ii)(cosθsin)θππ2[cos(−+−)iisin()](cosθθ+sin)33=ππ2[cos(−)+−iisin()][cos(−+−θ)sin(θ)]44ππ=−2[cos()+iisin(−)](cos2θ+sin2)θ1212πππ(2θ−)i=−2[cos(2)θθ+iesin(2)−]2=1212122(cos5ϕϕ+isin5)（4）3(cos3ϕϕ−isin3)cos10ϕϕ+isin10
5、==cos19ϕϕ+isin19cos(9)−+−ϕϕisin(9)ππ3i=+3cosisin（5）22⎧31⎪+ik,=022⎪11ππ⎪31=+cos(2)skiπ++in(2)kπ=⎨−+ik,=13232⎪22⎪−ik,=2⎪⎩ππ（6）1+i=+2(cosisin)44π⎧i4811ππ⎪2,ek=04=+2[cos(2)skiπ+in(2)+kπ]=⎨2424π⎪i48⎩−2,ek1=1+iz14．设zzi==,3−,试用三角形式表示zz与12122z2ππππ解：ziz=+cossin,=−2[cos()+−isin()]，所以124466ππππππzz=−
6、2[cos()+−iisin()]=+2(cossin)，1246461212z11ππππ5ππ51=+[cos()++iisin()]=+(cossin)z246462121225．解下列方程：544（1）()1zi+=（2）za+=>0(a0)5解：（1）zi+=1,由此2kiπ55zi=−=−1ei，(k=0,1,2,3,4)4444（2）zaa=−=(cosπ+isin)π11=+ak[cos(π2ππ)++iksin(2π)]，当k=0,1,2,3时，对应的444aaaa个根分别为：(1+−iiii),(1+−),(1−−),(1)2222xy+6．证明下列各题：
7、（1）设zxi=+y,则≤zxy≤+222证明：首先，显然有zx=+≤+yxy；22222其次，因xy+≥2,xy固此有2(xy+≥+)(xy),x+y22从而zxy=+≥。2222（2）对任意复数zz,,有zzzz+=++2Re(zz)1212121222证明：验证即可，首先左端=+++()xx()yy，12122222而右端=++++xyxy2Re[(xi+y)(xi−y)]11221122222222=++++xyxy2(xx+yy)=+++()xx()yy，112212121212由此，左端=右
