多重线性多项式上广义导子的幂零问题new

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1、维普资讯http://www.cqvip.com2004年5月吉林师范大学学报(自然科学版)No．2第2期JournalofJilinNormalUniversity(NaturalScienceEdition)May．2OO4多重线性多项式上广义导子的幂零问题齐德全，王宇(吉林师范大学数学学院，吉林四平136000)摘要：R是素环，g是R的非零广义导子，f(X一，X)是多重线性多项式，在R上不为零．如果g(，(一，五))=0，V：rE，，其中是固定正整数，，是R的非零理想，那么_厂(x一，X)在R上是中心值的．关键词：广义导子；多

2、重线性多项式；素环中图分类号：O153．3文献标识码：A文章编号：1000—1840一(2OO4)O2—0029—03在[1]中，Lee研究了Lie理想上广义导子的幂零问题．令R是素环，g是R上的可加映射，若有R的导子，使得g()=g(x)y+()，Vz，yER，则称g为R的广义导子．若有a，bER，使得g(z)=+，VzER，则称g为内广义导子，否则称其为外广义导子．令己，为R的极大右商环，则g可以唯一地扩充到己，上，并且有aEU，为己，的导子，使得g(z)=黜+(z)，V=rEU．令L是R的Lie理想，Vz1，z2EL，则有z1

3、z2一2z1EL．这使人很自然地想到2重线性多项式X1X2一X2X1．在[2]中，Wong研究了多重线性多项式上导子的幂零问题，本文将对多重线性多项式上广义导子的幂零问题进行讨论，并得出以下结论：定理R是素环，g是R的非零广义导子，f(x一，z)是多重线性多项式，在R上不为零．如果g(f(z一，))=0，Vz一，E，，其中”是固定正整数，，是R的非零理想，那么f(x一，)在R上是中心值的．为了得出以上结论，首先考虑一种特殊情况．引理设D是除环，R=Mm(D)是除环D上的打z阶全矩阵环，．厂(x1，⋯，X)是多重线性多项式．若有a，b

4、ER，且a，b不同时为零，使得(z一，z)+厂(一，-)6)”=0，V一，ER，其中是固定正整数，则f(x一X)在R上是中心值的．证明：(1)若打1，则R是除环，故有⋯z)+厂(一，)b=0，Vz一，)ER．令f(R)是厂(--)生成的可加子群，则()+厂(，)6=0，V厂()Ef(R)．若厂(x··X)不是中心值的，由[3]得厂(R)含有非交换的L／e理想L，于是眦+zb=0，V∈L．由[1，定理7]得a=b=0，矛盾，于是厂(X··X)在R上是中心值的．(2)若打z≥2，令a=∑a，，b=，其中aED．若厂(··xt)不是中心值

5、的，由[4，引理]有R的奇序列=(··"Ut)使得f()=f(--)≠0．由[5，引理2]，有y≠0，≠q，使得厂()=7e．令置换盯(P)=h，盯(q)=忌，h≠忌．定义5D为：(∑)=∑(()，易证是R的自同构．于是厂()=f(731，⋯，)=厂()=，且有()+-厂()b=∑7e腩+∑，，．若≠Jf2，≠忌，则()+f()b的(，)元为零，同样有(()+厂()b)“的(i，)元为零．又因为()+-厂()b的(忌，忌)元为aMy，于是(．()+f()b)”的(忌，忌)元为(aMy)”．因为(()+f()b)”=0故有(口My)”

6、=0，从而aM=0．收稿日期：2004—02—22第一作者简介：齐德全(1977一)，男，观为古林师范大学数学学院在渎研究生一29—维普资讯http://www.cqvip.com同理可证=0，于是a，b均为对角阵．由[5，引理2]，若“=(“··)是尺的一个偶序列，则有f(“)=，其中2i0io=／=O，于是(U)+f(“)b=∑(口+)eii，因为(丑厂(“)+f(“)b)=0故有口+=O，于是若“是尺的偶序列，则丑厂(“)+f(“)b=0，(1)定义为=(1+e)z(1一Ckh)，V32∈R，是≠h．则f()=f()=()=y

7、(％+％一％一‰)因为f(x一，Xf)是多重线性多项式，所以厂()=(“(+((，其中“(i)是偶序列，(是奇序列．由[5，引理2]得∑厂(“(：y(一P从)，((’)=y(‰一％)，由(1)式得0：丑∑厂(“(+(“(b=aT(e~一‰)+y(％一‰)b=(％y+)％一(％y+)‰，于是有n址’，+)j=0和C~hh7+=0，(2)于是()+f()6=a(+(6：a7(％一e)+)，(％一％)6=(C~hh7+)‰一(吣y十糯)％再由(2)式得()+f()6=(口M一)y(％+％)因为(()+厂()6)=0故有(口抽一)7(ehh

8、+‰)=0于是=％．易证=，^≠走，(3)式若有奇序列=(··'Ut)满足f()=f(··'Ut)≠0由[5，定理2]有7=／=0，h≠走，使得f()=，于是有()+厂()b=∑％施+∑％=(‰y+)‰由(3)式得()+f()6=(％