随即变量及分布函数

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1、一、随机变量的概念一个随机试验有很多种结果，怎样能方便地把这一系列结果及其相应的概率一起表达出来，并且应用现代数学的方法来研究呢？本章讨论的随机变量就是这样一种工具。很多随机试验，其一系列结果可以用一数值变量取一系列值来表示。例如：(1)某段时间内某寻呼台接到的呼叫数可以用一变量取非负整数值表示：=0，1，2，…。“=2”表示随机事件{这段时间内有2人要求传呼}，“=0”则表示事件{这段时间内没有人要求传呼}。(2)对某物体的长度进行测量，一切可能的测量值构成一样本空间{:}。可以直接用一变量跟测量的结果联系起来：“”表示事件{测量值在1.5与2.

2、5之间}。这些变量所取的值是由随机试验的结果决定的，因此可以说是样本点的函数，我们把它叫做随机变量，常用希腊字母，，等或用大写的英文字母、等来表示。也就是说，一个随机变量是的函数：=，，R。我们不仅关心随机变量可取哪些值，更重要的是关心取某些值的概率。由于随机变量本身取实数值，而对实数来说，我们通常感兴趣的是单点集或某个区间或若干个这种区间的并、交，因此希望：是事件，以便有概率可言。更进一步，为了进行事件的运算与概率的运算，还要求这些区间的可列并、交、逆都代表事件。我们把直线上由左开右闭区间经过并、交、逆等运算得到的点集称为波雷尔集，包括一切单点集

3、，有限或无限的开区间，闭区间，半开半闭区间，以及它们的有限个或可列个的并、交。波雷尔集的全体Β称为波雷尔域。上述要求相当于把直线上的波雷尔集与事件相对应，把波雷尔域Β与事件域F相对应。由上述说明，我们给出随机变量在数学上的严格定义：定义1设是定义在概率空间{，F，}上的单值实函数，且对于R上的任一波雷尔集，有F，(1)就称为随机变量(randomvariable)，而称①为随机变量的概率分布(probabilitydistribution)。写出一个随机变量的概率分布是很复杂的问题，它是对一个随机变量的完整描述。而在很多情况下，只需要对一系列特殊的

4、波雷尔集求得(1)的概率就能决定整个概率分布了。下面先来介绍一类比较简单的情况。二、离散型随机变量定义2若随机变量可能取的值至多可列个(有限个或可列无限个)，则称为离散型(discrete)随机变量。对离散型随机变量，设{}为其可能取值的集合，关键问题是写出概率（简记作或），=1，2，…。称(2)为的分布列(distributionsequence)，有时也就称它为的概率分布。它包含两个方面：可能取什么值；取这些值的概率。显然，分布列具有性质：≥0，=1，2，…；=1。(3)有了分布列(2)，就可求得与有关的一切事件的概率。事实上，由概率的可列可加

5、性，对直线上任一波雷尔集，有。(4)例1设随机变量ξ的分布列为，(1)求常数；(2)求。解(1)由+0.1+0.2+0.2=1解得=1，故分布列为。(2)==0.1+0.2+0.2=0.5。例2在伯努里概型中，每次成功的概率为。记直至得到第次成功时的试验次数为，求的分布列。解={‘前－1次试验中有－1次成功，－次不成功’且‘第次成功’}==，=，+1，+2，…，它称为巴斯卡分布。下面是一些常见的离散型随机变量，它们在实际工作中经常碰到，在理论研究中也有其特殊的重要性。1.退化分布设随机变量只取一个常数值，即(=)=1，(5)称它为退化(degene

6、rate)分布，又称为单点分布。事实上，{=}是一概率为1的事件，可以看作一个常数，但有时我们宁愿把它看作（退化的）随机变量。2.两点分布若一个随机试验只取两个可能值，，则相应的概率分布为，，>0，=1，(6)称为两点分布。在伯努里试验中，每次试验只有两个结果——事件A发生或不发生。本来这结果与数值无关，但我们可以把它数量化，用一随机变量的取值与它相对应，就得到一个服从两点分布的随机变量。特别地，人们往往用A的示性函数表示随机变量，即令=其分布列为，>0，=1，(7)称为伯努里分布，也称0－1分布。任一伯努里试验的结果(电路‘断’与‘不断’，产品‘

7、合格’与‘不合格’，种子‘发芽’与‘不发芽’，掷硬币得‘正面’与‘反面’，…)，都可用伯努里分布描述。3.二项分布若一随机变量ξ的分布列为，=1，,>0，=0，1，2，…，(8)称服从二项分布(Binomialdistribution)，记作。和称为它的两个参数。就是第一章讲到的伯努里概型中次成功的概率。它是二项式的展开式的各项，它是二项式的各项，其和恰好为1。二项分布是概率论中最重要的分布之一，应用很广，举例如下：(1)检查一人是否患某种非流行性疾病是一次伯努里试验。各人是否生这病可认为相互独立，并可近似认为患病的概率相等。因此考察某地个人是否患

8、此病可作为重伯努里试验，其中患病的人数服从二项分布。(2)保险公司对某种灾害(自行车被盗，火灾，…)保险，各人发生此种灾害