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1、对数值分析教学的思考摘要：“数值分析”是理工科研究生的一门数学基础课程，以介绍计算机求解数学问题的方法及其理论为主要内容。通过学习本课程使学生熟练掌握各种常用的数值算法的构造原理和过程分析，提高算法设计和理论分析能力，并且能够根据实际问题建立数学模型，然后提出相应的数值计算方法，并能编出程序在计算机上算出结果。关键词：计算机；数值算法；数学建模。一、引言“数值分析”是理工科研究生的一门数学基础课程，以介绍计算机求解数学问题的方法及其理论为主要内容。通过本课程的学习能使学生熟练掌握各种常用的数值算法
2、的构造原理和过程分析，提高算法设计和理论分析能力，并且能够根据实际问题建立数学模型，然后提出相应的数值计算方法，并能编出程序在计算机上算出结果。这既能为学生在理论学习方面以及在计算机上解决实际问题打下良好的基础，同时又能培养学生的逻辑思维能力和提高解[1]决实际问题的能力。二、数值分析教学主要内容《数值分析》是一门应用性很强的数学基础课,它十分注重基本概念叙述的清晰性,理论[2]分析的严谨性和启发性,数学语言及符号术语的现代性。以下这些内容是主修这门课程的学生必须掌握的,它包括:1）绪论及误差概念
3、。数值分析研究的对象、发展简况,误差与有效数字的初步概念,学习数值分析的方法和需要注意的问题。2）插值方法。从拉格朗日插值原理出发,导出插值多项式的表示及余项定理。然后介绍各具特色的逐步线性插值、差商与牛顿插值、厄尔米特插值,以及分段光滑的样条函数插值。3）函数与数据的逼近。这是逼近论的初步知识。由切比谢夫多项式的极值性质引入最佳一致逼近概念,最佳一致逼近多项式的存在性、唯一性、特征性质和近似计算方法。空间的变动,转到最佳平方逼近以及统一处理的最小二乘法、数据拟合及各种实例。4）数值积分与微分。由
4、定积分问题的数值问题开始,在插值型求积公式类中,传统的矩形公式、梯形公式与辛普生公式是十分直观的,它们可演变为一般的牛顿-柯特斯公式。复化求积公式和外推型的龙贝格方法使得数值积分手法更为灵活、实用。5）高斯型公式与正交多项式。正交多项式理论本身自成体系,利用其正交性和多项式的零[3]点正好建立各种类型的高斯求积公式,它们的诱人之处在于具有最高代数精度。6）解线性方程组的直接法。最简单的高斯消去法,能将克来姆法则对高阶求解问题由于计算量大而根本无法解决的难题,解决在须臾之间。高斯消去法的完整实施是要
5、配合选主元的步骤的。它们又对应直接的矩阵分解形式。适应于形状特殊的矩阵的典型方法如平方根法与追赶法亦是十分有效的。7）解大型稀疏线性方程组的迭代法。雅可比迭代、高斯-塞德尔迭代与超松弛迭代及其它们的收敛理论构成了这部分的主要内容。8）矩阵特征值和特征向量的计算。介绍了迭代类方法(幂法与反幂法)和变换类方法(雅可比旋转法、豪斯荷尔德方法、QR方法)。9）非线性方程求根。简单迭代法的几种主要形式:牛顿法、弦截法、密勒法及其收敛性、收敛速度分析,简单迭代法的一些加速技巧。三、数值分析教学现状1、教学内容
6、很多，但教学时数相对较少《数值分析》课程的教学内容非常丰富，包括了数值逼近、数值代数、微分方程数值求解等很多数值计算方法。由于《数值分析》属于数学类课程，所以不可避免地会出现一些数学理论，比如误差分析，范数等，所以学生上课时会产生晦涩难懂的感觉。加上《数值分析》[5]中包含数值计算方法很多，所以全部学完这门课程需要的教学时数很多。但是，随着课程设置结构的调整，它的教学课时只有48个，所以有些算法都不能细致地讲解，只能听一些基本的思想，导致基本功比较差得学生听课的效率比较大。因此，如果想在有限的学时
7、内尽量让学生多学，多会，就必须对教学内容进行优化的同时，也必须对教学方法进行改革。2、教学内容理论性较强，直观性差《数值分析》属于教学类课程，理论性和抽象性都很强。比如在讲解拉格朗日插值函数的误差分析时，就用到了数学分析中罗尔定理，并结合辅助函数的构造才能的得到误差公式，数学技巧较高，非数学类专业的学生理解起来就比较困难。另外，还有一些算法比较复杂，在讲授其推导过程时其表达式过程较长，比如三次样条插值函数的构造学生在理解时就会感到费劲。是需要指出的是数值分析同时也是一门允许误差存在的课程,因为在用
8、计算机解决实际问题时要经历以下几个过程:实际问题；数学建模；数值计算方法；程序设计；上机计算求出结果。每一个过程中都涉及误差的计算问题,传统的教学方法仅从量的角度来分析误差大小,如对于多项式插值的拉格朗日型余项表达式,教师如果不采有效的教学方法的话,那么学生只能是被动的记忆,并不能真正理解余项公式的含义,直观性很差。四、对于教学改革的建议1）《数值分析》是学生第一次接触到系统的科学计算课程,从零基础到掌握上述内容是有一定难度的。而且,在内容丰富的前提下,教师为了赶进度而只讲解原理,
