copula函数的参数估计

《copula函数的参数估计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第26卷第2期《新疆师范大学学报》(自然科学版)Vol.26,No.22007年6月JournalofXinjiangNormalUniversityJun.2007(NaturalSciencesEdition)Copula函数的参数估计12杨益党,罗羡华(1.新疆昌吉学院,新疆昌吉831100;2.广州大学数学与信息科学学院,广州510006)3摘要:Copula理论在统计及金融分析中有着广泛的应用。在利用Copula理论对多元分布函数进行建模时,其中一个关键问题是如何估计Copula函数中的参数。文章通过例子对Copula函数中的参数估计问题进行了探讨。关键词:相关系数;连接函数;Cop

2、ula;参数估计;多元分布中图分类号:O211文献标识码:A文章编号:1008296592(2007)20220015204相关系数是衡量变量之间相关关系程度和方向的一个主要变量。在初等概率论中,两个随机变量X和Y的相关系数定义为:Cov(x,y)E(x-Ex)(y-Ey)ρ==(1)Var(x)Var(y)Var(x)Var(y)如果给定一组样本(x1,y1),⋯,(xn,yn),我们就可以相应地计算出随机变量X和Y的样本相关系数。从(1)式可以看出,要计算相关系数,随机变量X和Y必须要有期望和方差。然而,在金融市场中出现的不少数据,往往是厚尾分布,它们的方差是不存在的,甚至有的分布函数连期

3、望都不存在(如Cauchy分布),此时它们的相关系数显然不存在,但这并不等于它们的相关关系不存在。另一方面,有些随机变量有期望和方差,而且它们之间有很强的相关关系,但是它们的相关系数却是零。这说明传统的相关系数在描述随机变量的相关关系方面是有很大的局限性。Copula理论的出现为解决相关分析和多变量建模提供了一个新工具。Copula理论在实际应运中有许多优点,它可以将一个联合分布的边际分布和它们的相关结构分开研究,使模型更实用、更有效。众所周知,在经济、金融、统计等各种文献中,我们可以利用的一元参数分布函数有很多,但是可以利用的多元参数分布函数则很少,从而在拟合复杂的经济、金融等各种统计数据时

4、受到了很大制约。根据Copula理论,我们可以根据任一类型的多个一元分布函数(不一定来自同一个分布函数族)和任意一个Copula函数来构造许多有用的多元联合分布函数,从而使Copula理论在多元分布建模中成为一种有用的工具。在利用Copula理论对多元分布函数进行建模时,其中重要的一个环节就是对参数进行估计。本文将对Copula函数中的参数估计问题进行探讨。1Copula函数1.1Copula函数的概念为了简单起见,本文仅仅给出二元情况下Copula的定义,推广到高维情况是直接的(例如,见文献3[收稿日期]2006-11-24[基金项目]①国家自然科学基金(No.10671044),②广州市科

5、技局项目(No.2004J1-C0333),③广州市教育局重点项目(No.2004)。[作者简介]杨益党(1949-),男,湖北均县人,副教授,主要从事金融统计研究。16新疆师范大学学报(自然科学版)2007年[1])。2定义:二元Copula函数是满足下列性质的函数C:[0,1]→[0,1](1)对任意的u,v∈[0,1],有,C(u,0)=C(0,v)=0,C(u,1)=C(1,v)=1;(2)对任意的u1,u2,v1,v2∈[0,1],如果u1Fu2,v1Fv2,则有C(u2,v2)-C(u2,v1)-C(u1,v2)+C(u1,v1)E0。下面的Sklar定理是Copula理论中的一个

6、关键结果。Sklar定理:设F是二元联合分布函数,其边际分布函数为F1和F2,则存在一个Copula函数C使得对于任意的x,y∈珚R=(-∞,+∞),都有F(x,y)=C(F1(x,)F2(y))(2)如果F1和F2连续,则C是惟一的。反之,如果C是Copula函数,F1和F2是分布函数,则由上式定义的F是联合分布函数,其边际分布函数为F1和F2。根据Sklar定理,可以从两个方面来理解Copula函数:二元Copula函数实际上是一个二元联合分布函数,它的边际分布函数为[0,1]上的均匀分布;二元Copula函数把联合分布函数与边际分布函数联系起来,刻画了随机变量的相依结构。众所周知,在经济

7、、金融、统计等各种文献中,我们可以利用的一元参数分布函数有很多,但是可以利用的多元参数分布函数则很少,从而在拟合复杂的经济、金融等各种统计数据时受到了很大制约。根据Sklar定理,我们可以根据任一类型的多个一元分布函数(不一定来自同一个分布函数族)和任意一个Copula函数来构造许多有用的多元联合分布函数,从而使Copula理论在多元分布建模中成为一种有用的工具。当随机变量X和Y相互独立时,它们的