高数a习题课六

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1、习题课六一、证明题1．设函数f(x)在]3,0[上连续,在)3,0(内可导，且f)0(+f)1(+f)2(=3，f)3(=1，试证必存在ξξ∈(0,3),()使f′=0.2．设在]1,0[上f′′(x)≤M，且在)1,0(内f(x)取得极大值，试证：f′0()+f′1()≤M.3．定理：设f(x)在[xa,b)(或(a,xa])上连续，在(xa,b)（或(a,xa)）内可导，且limf′(x)=A(或limf′(x)=B)，则f+′(xa)=A(或f−′(xa)=B)。+−x→xax→xa4．设f(x)，g(x)在[a,b]连续，在(a,b)内可导，f(a)=

2、f(b)=0，证明：（1）∀λ∈R，∃ξ∈(a,b)，使f′(ξ)+λf(ξ)=0，（2）∃η∈(a,b)，使f′(η)+f(η)g′(η)=0。5．设f(x)在[a,b]连续，在(a,b)内可导，f(a)=f(b)=1，试证：∃ξ,η∈(a,b)，使eη−ξ[f(η)+f′(η)]=1。6．已知函数f(x)在[a,b]连续，在(a,b)内可导且0

3、2nπ在(0,)内至少有一个根。218.设fx()[1,2]在上有二阶导数，且f(1)=f(2)=0，=−2∈′′=Fx()(1)()xfx，证明：存在ξξ(1,2)，使F()09.设fx()[0,1]在上有二阶导数，且f(1)=f(0)=0，2()f′ξ证明：存在ξξ∈=(0,1)，使f′′().1−ξ10.设函数f(x)在[a,b]连续，在(a,b)内可导，ab+且，f()af==()2,(baf)=ab+2证明在[a,b]上至少存在一点ξ,使得f′()1ξ=.11.设fx()[0,1]在上可导，且f(1)1=，f(0)=0，证明：对所有满足αβ+=1,的

4、正数αβ，存在相异的，ξη∈(0,1)，使αξβηff′′()+=()1.12.设函数f(x),g(x)在[a,b]连续，在(a,b)内可导，ab+且fafb()()0,()(>

5、).2二、解答题1.已知f(x)在(−∞,+∞)内可导，且limf′(x)=e，x→∞x+Cxlim()=lim[f(x)−f(x−1)]，求C的值。x→∞x−Cx→∞x⎧xxecos−+1⎪x≠02.已知fx()=⎨x2⎪⎩ax=0(1).问af取何值时,()x在x=0连续?(2).(1)在之下,()fxx在=0是否可导若可导，求?fx′().3.设fx()有一阶连续导数，且f(0)==f′(0)0，f′′(0)存在，⎧fx()⎪x≠0()gx=⎨x⎪x=0⎩a(1).问ag取何值时,()x处处连续.(2).对（）中确定的，证明1ag()x有一阶连续导数.三

6、、求下列极限22⎛⎞arcsinxx6665651.lim⎜⎟2.lim(x+−−xxx)x→0⎝⎠xx→+∞2aa3.limna(arctan−arctan)(≠0)n→∞nn+124xx2111+−−+x285.lim(n3+3)nn4.limx→0xx24sinn→∞3四.(设fx)有四阶导数，且f(0)=0,(4)ffff′′(0)=−1,′′(0)=2,′′(0)=−3,(0)=6,fxx()+−+[1ln(1x)]求lim.4x→0x五.设fx()存在二阶导数，证明fxhfxh()()++−−2fx()lim=f′′().xh→0h2六.设函数y=

7、f(x)在邻域N(0,)δ内有n阶导数，且(1n−)ff(0)==′(0)⋅⋅⋅=f(0)=0，()nf()xfx()θ证明存在01<<θ，使=.nxn!4