高数A习题课-向量

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1、向量代数、平面方程编辑：孙学峰制作：彭豪习题课（3）二、作业讲析三、典型例题讲解四、练习题一、内容总结一、内容总结1.向量的加法与数乘运算运算律：交换、结合、分配称为向量a在基本单位向量i,j,k下的基本分解式或坐标表示式.ax、ay、az为坐标，分别是a在三坐标轴上的投影.2.向量的分解a=axi+ayj+azk，b=bxi+byj+bzkab=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)ka=(ax)i+(ay)j+(az)ka=axi+ayj+azk若在三维空间中不建立直角坐标系，同样可研究向量的分解及向量的坐标运算。设,,为三

2、个线性无关向量,a为任意向量，则存在唯一一组数x,y,z,使得a=x+y+z3.数量积、向量积、混合积设a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),c=(cx,cy,cz),则ab=axbx+ayby+azbzab=(aybzazby)i+(azbxaxbz)j+(axbyaybx)k复习数量积、向量积、混合积的运算性质、几何意义、物理意义。4.平面建立平面方程的基本方法：点法式、截距式、一般式。点到平面的距离的向量式表达。平面之间的位置关系。二、作业讲析（练习册P32§1.1）五、已知PA=(2,-3,6)，PB=(-1,2,-

3、2)，

4、PC

5、=，且PC平分∠APB，求向量PC。BPACD解：

6、PA

7、=7,

8、PB

9、=3.记∠APB=2，利用数量积易求得如图，过B作PA的平行向量BD交PC于D，显然

10、PB

11、=

12、BD

13、=3.于是PD=PB+BD=PB+3/7PA六、已知一向量的模为2，且与x轴和y轴的正向成等角，与z轴正向的夹角则是它们的两倍，求该向量。解：依题意只需求出向量的方向角即可。可设它的三个方向角分别为,,2,于是有三、典型例题讲析例1.设

14、a

15、=2,

16、b

17、=1,=.若向量m=a+b与向量n=a-b垂直,求.解：m·n=a·a-a·b+b·a-b·b

18、=4+-2=5-2=0故=2/5例2.设a,b,c为不共线的三向量，那么它们能构成三角形a+b+c=0的充要条件是ab=bc=ca.证：必要性:利用向量积的性质得（a+b+c)a=ba+ca=0即ab=ca.同理可证ab=bc.充分性：由条件ab=bc=ca知，三向量a,b,c共面，于是有不全为0的1,2,3,使得1a+2b+3c=0在上式两边与a,b作叉积得2ab+3ac=0,1ab+3cb=0∴1=2=3且非零。于是得a+b+c=0。例3.设(ab)·c=1,求[(a+b)(b+c)]

19、·(c+a).解：[(a+b)(b+c)]·(c+a)=[(ab)+(ac)+(bb)+(bc)]·(c+a)=(ab)·c+(ac)·c+(bc)·c+(ab)·a+(ac)·a+(bc)·a=(ab)·c+0+0+0+0+(ab)·c=2例4.设a,b,c为两两正交的向量，且

20、a

21、=1,

22、b

23、=2，

24、c

25、=3.求向量d=a+2b+3c的长度。解：d·d=(a+2b+3c)·(a+2b+3c）=a·a+2a·b+3a·c+2b·a+4b·b+6b·c+3c·a+6c·b+9c·c=12+4·22+9·32=98∴

26、d

27、=例5.设a,

28、b是两个非零向量，

29、a

30、=2,==

31、a

32、cos=1例6.求过y轴并和点M(2,7,3),N(-1,1,0)等距离的平面方程。解：所求平面过y轴，故可设其方程为Ax+Cz=0.平面和点M(2,7,3),N(-1,1,0)等距离，故有于是A=-C或A=-3C，故所求平面方程为x-z=0或3x-z=0例7.证明平面1:2x-y+1=0,2:x+2y+z+1=0,3:3x+y+z+2=0属于同一平面束(相交于同一直线),并求束里经过点P(1,0,1)的平面方程。解：显然1与2不平行，过其交线的一切平面方程（除2外）均可表示为2x-y+1

33、+(x+2y+z+1)=0（1）显然3是上述方程中取1的结果，即1、2、3属同一平面束。将P(1,0,1)的坐标代入（1）式解得=-1故所求平面方程为x-3y-z=0例8.对于平面Ax+By+Cz+D=0，若规定法向量n=(A,B,C)所指一侧为平面的正侧，另一侧为负侧，那么D的符号就决定了原点在平面的侧位。试讨论之。解：首先研究D的几何意义。D=A(-x)+B(-y)+C(-z)=n·MO=

34、n

35、

36、MO

37、cos当原点在平面正侧时,D>0;在平面负侧时,D<0.反之亦然。例如平面x-y+z+1=0，则原点在平面的正侧。M(x,y,z)

38、nO(0,0,0)四、练习题1.设m=