高数a习题课七

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1、习题课七一、选择题sin6x+xf(x)6+f(x)1．若lim=0，则lim为（）32x→0xx→0x（A）0；（B）6；（C）36；（D）∞。ln(1+x)−(ax+bx2)2．设lim=2，则（）2x→0x5（A）a=,1b=−；（B）a=,0b=−2；25（C）a=,0b=−；（D）a=,1b=−2。23.设偶函数fx()有二阶连续导数，且f′′(0)≠0则x=（）0().Af不是()x的驻点(B).不是f()x的极值点(C).是fx()的极值点(D)不能确定是否为fx()的极值点324.fx()=+

2、2x3x（）().A只有极大值，无极小值(B).只有极小值，无极大值(C).在xx=−1时取极大值，在=0时取极小值(D).在x=−1时取极小值，在x=0时取极大值5.设f(x)在x=0的某邻域内连续且f)0(=0，f(x)lim=2，则f(x)在x=0处（）x→01−cosx（A）不可导；（B）可导且f′)0(≠0；（C）有极大值；（D）有极小值。16.设在[0，1]上，f′′(x)>0，则下列不等式成立的是（）（A）f′)1(>f)1(−f)0(>f′)0(；（B）f′)1(>f′)0(>f)1(−f)0

3、(；（C）f)1(−f)0(>f′)1(>f′)0(；（D）f′)1(>f)0(−f)1(>f′)0(。y7.设函数f(x)在定义域内可导，y=)x(fy=x(f)的图形如图所示，则导xo函数y′=f′(x)的图形为（）yy′=f′)x(yy′=f′x()yy′=f′)x(yy′=f′x()xxxxoooo（A）（B）（C）（D）8.设函数f(x)在(−∞,+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有（）（A）一个极小值点和两个极大值点；yy′=f′)x(（B）两个极小值点和一个极大值点；（C）两个极小

4、值点和两个极大值点；xo（D）三个极小值点和一个极大值点；9.设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义，在开区间(a,b)内可导，则（）（A）当f(a)f(b)<0时，存在ξ∈(a,b)，使f(ξ)=0；2（B）∀ξ∈(a,b)，有lim[f(x)−f(ξ)]=0；x→ξ（C）当f(a)=f(b)时，存在ξ∈(a,b)，使f′(ξ)=0；（D）存在ξ∈(a,b)，使f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)。10.设f(x)有三阶连续导数,f′)0(=,0且对一切x满足2（）f′′(x)+[f′(x)]=x,则

5、(A)f)0(是f(x)的极大值；(B)f)0(是f(x)的极小值；(C)点,0(f0())是曲线y=f(x)的拐点；(D)f)0(不是f(x)的极值,点,0(f0())也不是曲线y=f(x)的拐点。二、填空题arctanx−x1．lim=。3x→0ln(1+2x)1+tanx−1+sinx2．lim=。2x→0xln(1+x)−xnπ23．limtan(+)=。n→∞4n24.f(x)=ex−1在x=0处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式为。三、证明题1．设f(x)在[−]1,1上具有三阶连续导数，且f(−)1=

6、0，f)1(=1，f′)0(=0，证明∃ξ∈(−1,1)，使得f′′′(ξ)=3。312．设f′′(x)在x=a连续，证明：对f(a+h)=f(a)+hf′(a+θh)中的θ，有limθ=。h→023．设，常数，证明：aa+x。x>0a>e(a+x)0，求满足不等式lnx≤Ax的最小正数A。5．设f(x)在[a,+∞)上可导，且当x>a时，f′(x)>k>0，其中k为常数。证明f(a)如果f(a)<0，则方程f(x)=0在(a,a−)内有且仅有一个实根。k6．若火车每小时所耗燃料费用与火车速度立

7、方成正比，已知速度为20km时，h每小时的燃料费用为40元，其他费用每小时200元，求最经济的行驶速度。4