高中数学知识_抛物线及其性质

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1、高中数学知识要点重温（17）抛物线及其性质1．不要把抛物线的标准方程和二次函数的一般形式混为一谈；抛物线的焦点位置取决于哪个变量是一次的及其系数的正负；抛物线标准方程中的“p”表示焦准距。2[举例1]抛物线yax的准线方程为y2，则a的值为11（A）（B）（C）8（D）8882111解析：抛物线的标准方程为：xy，其准线方程为：y=-,∴a=，故选B。a4a822xy2[举例2]若椭圆221(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y=2bxab的焦点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为：16417425(A)(B)(C)(D)17

2、17552b解析：抛物线y=2bx的焦点为F（，0），∵F将线段F1F2分成5∶3的两段，2bb25∴（+c）：（c-）=5∶3c=2be=,选D。2252[巩固1]点M(5,3)到抛物线y=ax的准线的距离等于6,那么抛物线的方程是()21212222(A)y=12x(B)y=x或y=-x(C)y=-36x(D)y=12x或y=-36x1236222xy[巩固2]若抛物线y2px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为62A．2B．2C．4D．42.涉及到抛物线上的点到焦点（准线）的距离问题常用定义；有时，抛物线上的点到与准线平行的直线的距离需转化为到准线

3、的距离。2x[举例1]已知A（3，1），抛物线y上一点P（x,y），则

4、PA

5、+y的最小值为。42x解析：抛物线y的准线为：y=-1，焦点F（0，1），记P在直线y=-1上的射影为Q，4则y=

6、PQ

7、-1=

8、PF

9、-1，

10、PA

11、+y=

12、PA

13、+

14、PF

15、-1，问题转化为：求

16、PA

17、+

18、PF

19、的最小值，易见：

20、PA

21、+

22、PF

23、≥

24、AF

25、=3，当且既当F、P、A共线时等号成立，故：

26、PA

27、+y的最小值为2。[举例2]已知椭圆E的离心率为e，两焦点为F1，F2，y抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个QP

28、PF

29、1公共点，若=e，则e的值为：x

30、PF

31、2MF1O

32、F2-1-3326A．B．C．D．3223解析：记抛物线的准线l交x轴于M，P在l上的射影为Q，则

33、F1M

34、=

35、F1F2

36、=2c，即l的方程为x=-3c，

37、PF2

38、=

39、PQ

40、，又

41、PF

42、

43、PF

44、11=e，即=e，∵F1是椭圆的左焦点，∴

45、PQ

46、为P到椭圆左准线的距离，即

47、PF

48、

49、PQ

50、22a3l为椭圆的左准线，于是有：-3c=-e=，选A。c32[巩固1]一动圆圆心在抛物线x4y上，过点(0,1)且与定直线l相切，则l的方程为（）11A.x1B.xC.y1D.y161622xy[巩固2]椭圆C1：1,(ab0)的左准线为l，左、右焦点分别为F1，

51、F2，抛物22ab

52、FF

53、

54、PF

55、121线C2的准线也为l，焦点为F2，记C1与C2的一个交点为P，则=（）

56、PF

57、

58、PF

59、121A．B．1C．2D．与a,b的取值有关2223．过抛物线y=2px的焦点直线l与抛物线y=2px交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，记住并会证22p2p0明：yyp，xx，

60、AB

61、=xxp(其中为弦AB的倾角，=9012121224sin时的弦AB即为抛物线的通经)，证明该结论时为避免讨论斜率不存在情形，可设直线方程为：px=my+(其中m为AB的斜率的倒数)；抛物线焦点弦问题常用定义，如：以焦点弦为直径的2圆与准

62、线相切。2[举例1]抛物线y=2px上弦长为a（a≥2p）的弦的中点到y轴的距离的最小值为：。pp解析：抛物线的准线l的方程为：x=-,焦点F（，0），记弦的两端点为A、B，AB的中22点为M，它们在l上的射影分别是A1，B1，M1；于是有：

63、AF

64、=

65、AA1

66、，

67、BF

68、=

69、BB1

70、，p1p1p1pM到y轴的距离d=

71、MM1

72、-=(

73、AA1

74、+

75、BB1

76、）-=(

77、AF

78、+

79、BF

80、）-≥

81、AB

82、-2222222ap=,当且仅当A，B，F共线时等号成立。注：过焦点的弦最短是通经，长为2p，当2a<2p时，A，B，F不可能共线。2[举例2]给定抛物线C：y＝4x，F是C的焦

83、点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．设l的斜率为1，则OA与OB夹角为；2解析：抛物线的焦点为F(1,0)，直线l的方程为：x=y+1；将其代入抛物线方程得：y-4y-4=0[-2-121212设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有y1+y2=4,y1y2=-4，又x1=y1,x2=y2,∴x1x2=(y1y2)=1.4416OAOB=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2=-3.222222122

84、OA

85、

86、OB

87、xyxy(xx)(yy)(yy)[(yy)2yy]1122121212121216O