抛物线的标准方程及其几何性质

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1、抛物线的标准方程及其几何性质主讲教师：刘杨【知识概述】一、抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.二、抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径

2、PF

3、＝x0＋

4、PF

5、＝－x

6、0＋

7、PF

8、＝y0＋

9、PF

10、＝－y0＋4数学·选修2-1【学前诊断】1．[难度]易抛物线y2＝8x的焦点坐标是______．2．[难度]易动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．3．[难度]中设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)A．4B．6C．8D．12【经典例题】例1．根据下列条件求抛物线的标准方程．（1）抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；（2）抛物线焦点在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，

11、AF

12、＝5.例2．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，

13、点P与抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求

14、PA

15、＋

16、PF

17、的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．例3．定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝x上移动，AB的中点为M，则当点M的坐标为_____时，到y轴的距离最短，最短距离为________．例4．设直线与抛物线交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心），试证明抛物线的顶点在圆H的圆周上；并求a的值，使圆H的面积最小.4数学·选修2-1例5．如图所示，已知点A(2,8)，B(x1,y1)，C(x2,y2)均在抛物线y2＝2px(p>0)上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合．(1)写出该

18、抛物线的方程及焦点F的坐标；(2)求线段BC的中点M的坐标；(3)求BC所在直线的方程．【本课总结】一、解题技巧1．抛物线没有中心，只有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴且离心率为e＝1，所以与椭圆、双曲线相比，它有许多特殊性质，可以借助几何知识来解决．2.抛物线的定义实质上给出一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．3．抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．4．抛物线的标准方程有四种，在求解过程中，首先要根据题目描述的几何性质判断方程形

19、式，若只能判断对称轴，而不能判断开口方向，可设为x2＝ay(a≠0)或y2＝ax(a≠0)，然后利用待定系数法和已知条件求解．5．抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；(2)若直线AB的倾斜角为θ，则

20、AB

21、＝；(3)若F为抛物线焦点，则有＋＝.二、易错防范1．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程．2．注意应用抛物线定义中的距离相等解决问题．4数学·选修2-1【活学活用

22、】1．[难度]易已知抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程是（）A．y2＝16xB．x2＝－8yC．y2＝16x，或x2＝－8yD．y2＝16x，或x2＝8y2.[难度]中设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则等于(　　)A．9B．6C．4D．33.[难度]中设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P到点(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．4数学·选修2-1