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《高中数学知识点总结_椭圆及其性质》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、椭圆及其性质1.方程表示椭圆>0,>0,且≠;是,中之较大者,焦点的位置也取决于,的大小。[举例]椭圆的离心率为,则=解析:方程中4和哪个大哪个就是,因此要讨论;(ⅰ)若0<<4,则,∴,∴==,得=3;(ⅱ)>4,则,∴,∴==,得=;综上:=3或=。[巩固]若方程:x2+ay2=a2表示长轴长是短轴长的2倍的椭圆,则a的允许值的个数是A 1个 B.2个 C.4个 D.无数个2.椭圆关于x轴、y轴、原点对称;P(x,y)是椭圆上一点,则
2、x
3、≤a,
4、y
5、≤b,a-c≤
6、PF
7、≤a+
8、c,(其中F是椭圆的一个焦点),椭圆的焦点到短轴端点的距离为a,椭圆的焦准距为,椭圆的通经(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2,通经是过焦点最短的弦。[举例1]已知椭圆(>0,>0)的左焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,若BF⊥BA,则称其为“优美椭圆”,那么“优美椭圆”的离心率为。解析:
9、AB
10、2=2+2,
11、BF
12、=,
13、FA
14、=+,在Rt⊿ABF中,(+)2=2+2+2化简得:2+-2=0,等式两边同除以2得:,解得:=。注:关于,,的齐次方程是“孕育”离心率的温床。[举例2]已知椭圆(>0,>0)
15、的离心率为,若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转后,所得的新的椭圆的一条准线的方程为=,则原来椭圆的方程是。解析:原来椭圆的右焦点为新椭圆的上焦点,在x轴上,直线=为新椭圆的上准线,故新椭圆的焦准距为,∴原来椭圆的焦准距也为,于是有:=①,=②,由①②解得:=5,=3。[巩固1]一椭圆的四个顶点为A1,A2,B1,B2,以椭圆的中心为圆心的圆过椭圆的焦点,的椭圆的离心率为。[巩固2]在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为(A)(B)(C)(D)
16、[迁移]椭圆上有n个不同的点P1,P2,P3,…,Pn,椭圆的右焦点F,数列{
17、PnF
18、}是公差大于的等差数列,则n的最大值为()A.198B.199C.200D.2013.圆锥曲线的定义是求轨迹方程的重要载体之一。[举例1]已知⊙Q:(x-1)2+y2=16,动⊙M过定点P(-1,0)且与⊙Q相切,则M点的轨迹方程是:。解析:P(-1,0)在⊙Q内,故⊙M与⊙Q内切,记:M(x,y),⊙M的半径是为r,则:
19、MQ
20、=4-r,又⊙M过点P,∴
21、MP
22、=r,于是有:
23、MQ
24、=4-
25、MP
26、,即
27、MQ
28、
29、+
30、MP
31、=4,可见M点的轨迹是以P、Q为焦点(c=1)的椭圆,a=2。[举例2]若动点P(x,y)满足
32、x+2y-3
33、=5,则P点的轨迹是:A.圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线解析:等式两边平方,化简方程是最容易想到的,但不可行,一方面运算量很大,另一方面是平方、展开后方程中会出现xy项,这就给我们判断曲线类型带来了麻烦。但是,仔细观察方程后,就会发现等式左边很“象”是点到直线的距离,而等式右边则是两点间的距离的5倍;为了让等式左边变成点到直线的距离,可以两边同除以,于是有:=,这就已经很容易联想
34、到圆锥曲线的第二定义了,只需将方程再变形为:,即动点P(x,y)到定点A(1,2)与到定直线x+2y-3=0的距离之比为,∴其轨迹为椭圆。[巩固1]已知圆为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于M,则点M的轨迹方程为.[巩固2]设x、y∈R,在直角坐标平面内,=(x,y+2),=(x,y-2),且
35、
36、+
37、
38、=8,则点M(x,y)的轨迹方程为。[提高]已知A(0,7),B(O,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A、B的椭圆,则椭圆的另一焦点的轨迹方程为。[迁移]P为直线x-y+2=0上任一点,一
39、椭圆的两焦点为F1(-1,0)、F2(1,0),则椭圆过P点且长轴最短时的方程为。4.研究椭圆上的点到其焦点的距离问题时,往往用定义;会推导并记住椭圆的焦半径公式。[举例1]如图把椭圆的长轴AB分成8分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于,,……七个点,F是椭圆的一个焦点,则____________.解析:P1与P7,P2与P6,P3与P5关于y轴对称,P4在y轴上,记椭圆的另一个焦点为F/,则
40、P7F
41、=
42、P1F/
43、,
44、P6F
45、=
46、P2F/
47、,
48、P5F
49、=
50、P3F/
51、,于是
52、P1F
53、+
54、P
55、1F/
56、+
57、P2F
58、+
59、P2F/
60、+
61、P3F
62、+
63、P3F/
64、+
65、P4F
66、=7a=35.[举例2]已知A、B是椭圆上的两点,F2是椭圆的右焦点,如果AB的中点到椭圆左准线距离为,则椭圆的方程.解析:==,记AB的中点为M,A、B、M在椭圆左准线上的射影分别为A1、B1,M1,由椭圆第二定义知:
67、AF1
68、=e
69、AA1
70、,
71、BF1
72、=e
73、BB1
74、,于是有:e(
75、AA1
76、+
77、BB1
78、)=,而e=∴
79、AA1
80、+
81、BB1
82、=3a2
83、MM1
84、=3a,又
85、MM1
86、=,得a=1,故椭圆方程为。[巩固