高数上期末试题及答案5

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1、高等数学（上）试题及答案一、填空题（每小题3分，本题共15分）21、lim(1+3x)x=______.。x→0x⎧⎪ex≤02、当k时，f(x)=⎨在x=0处连续．2⎪⎩x+kx>0dx3、设y=x+lnx,则=______dyx4、曲线y=e−x在点（0，1）处的切线方程是5、若∫f(x)dx=sin2x+C，C为常数，则f(x)=。二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）x1、若函数f(x)=，则limf(x)=（）xx→0A、0B、−1C、1D、不存在2、下列变量中，是无穷小量的为（）1+A.ln(

2、x→0)B.lnx(x→1)C.cosx(x→0)D.xx−2(x→2)2x−43、满足方程f′(x)=0的x是函数y=f(x)的（）．A．极大值点B．极小值点C．驻点D．间断点4、下列无穷积分收敛的是（）+∞+∞−2x+∞1+∞1A、∫0sinxdxB、∫0edxC、∫0dxD、∫0dxxx5、设空间三点的坐标分别为M（1，1，1）、A（2，2，1）、B（2，1，2）。则∠AMB=πππA、B、C、D、π342三、计算题（每小题7分，本题共56分）4+x−21、求极限lim。x→0sin2x112、求极限l

3、im(−)xx→0xe−1cosx2−t∫edt13、求极限limx→0x2524、设y=e+ln(x+1+x)，求y′22⎧x=ln(1+t)dy5、设f=y(x)由已知⎨，求2⎩y=arctantdx126、求不定积分sin(+3)dx∫2xxx7、求不定积分∫ecosxdx⎧1x<0⎪⎪1+ex28、设f(x)=⎨，求∫f(x−1)dx10⎪x≥0⎪⎩1+x四、应用题（本题7分）22求曲线y=x与x=y所围成图形的面积A以及A饶y轴旋转所产生的旋转体的体积。五、证明题（本题7分）1若f(x)在[0,1]

4、上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f()=1，证明：2在(0,1)内至少有一点ξ，使f′(ξ)=1。参考答案一。填空题（每小题3分，本题共15分）6x1、e2、k=1．3、4、y=15、f(x)=2cos2x1+x二．单项选择题（每小题3分，本题共15分）1、D2、B3、C4、B5、A三．计算题（本题共56分，每小题7分）4+x−2x12x11.解：lim=lim=lim=7分x→0sin2xx→0sin2x(4+x+2)2x→0sin2x(4+x+2)8xxx11e−1−xe−1e12.

5、解：lim(−)=lim=lim=lim=xxxxxxxx→0xe−1x→0x(e−1)x→0e−1+xex→0e+e+xe27分cosx2−t∫edt−cos2x−sinxe113、解：lim=lim=−7x→0x2x→02x2e分114、解：y′=(1+)…………………………...4分22x+1+x1+x1=…………………………………………...7分21+x1dy1+t215、解：==（4分）dx2t2t21+t12−2dyddy()dx2t21+t===−（7分）dx2dtdxdt2t4t321+t12

6、122126、解：sin(+3)dx=−sin(+3)d(+3)=cos(+3)+C（7分）∫2∫xx2x32xxx7、解：∫ecosxdx=∫cosxdexx=ecosx+∫esinxdx………………………….2分xx=ecosx+∫sinxde..………………………….3分xxx=ecosx+esinx−∫ecosxdx……………5分x=e(sinx+cosx)+C…………………………7分8、解：2101∫0f(x−1)dx=∫−1f(x)dx=∫−1f(x)dx+∫0f(x)dx……2分0dx1dx=+

7、…………∫−11+ex∫01+x……3分x0e1=(1−)dx+ln(1+x)……∫−11+ex0……5分0x=1−ln(1+e)+ln2………………−1…6分−1=1+ln(1+e)=ln(1+e)………………7分四．应用题（本题7分）22解：曲线y=x与x=y的交点为（1，1），1分22于是曲线y=x与x=y所围成图形的面积A为132221211A=(x−x)dx=[x−x]=∫033304分A绕y轴旋转所产生的旋转体的体积为：1125(24)⎡yy⎤3V=π∫(y)−ydy=π⎢−⎥=π0⎣25⎦010

8、7分五、证明题（本题7分）证明：设F(x)=f(x)−x，……………………….……………2分11显然F(x)在[,1]上连续，在(,1)内可导，2211且F()=>0，F(1)=−1<0.221由零点定理知存在x∈[,1]，使12F(x)=0.…….……………4分1由F(0)=0，在[0,x]上应用罗尔定理知，至少存在一点1ξ∈(0,x)⊂(0,1)，使F′(ξ)=f′(ξ)−1=0，即1f′(ξ)