一类具有可移动边界的热导方程的反问题

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1、楚侣鲁，2『程反』习移994斗5月南京大学学{62数学毕年第l培j一类具有可移动边界的热导方程的反问题(0一。丝重翌O7(南京大学)ANINVERSEPROBLEMOFTHEMOVINGBOUNDARYFORTHEHEATCONDUCTIONEQUATlONFanKexin(NanjingUniversity)AbatractInthispaperaninverseproblemthatcoeficientk(x)isunknownandboundaryrftovesintheheatconductione

2、quationU—C(x)(()【，)=0(x>0tf>0)isJdiscused．TheseriessolutionofFouriertypearegiven．1．问题的提出与简化热导方程的反问腰与边界可移动的边值问题一直让工程技术人员关注，例如在金属板烧蚀，多孔介质中的渗流、地下石油与天然气的分布、水坝和水土建筑物中的渗透，冰土融化．电化加工成形等有着广泛的应用．对这两个问题进行单独研究的可见不少文章，而对其在一定的条件下结台起来讨论(即对方程是反问题，对边界可移动)，却见数不多．因为它的实际应用广，考

3、虑如下方程，·『一C(x0，，，0(1)lUI．。；0，l≥0(2)(UI．^)==0，l(it)l，。==，。=0(3)．lUI一)，≥0(4)【0)=，。)=o(5)其中C(x)，tO)，，(x)为已知函数，C()>o，C(x)eC，七(0)>0．我们确定函数偶(七)，【，(，f)}，七)>0，k(x)eC，V(x，t)eC满足(I)的解．-收稿日1993—04—26第1期范克新：一类具有可移动边界的热导方程的反问题·8l·设函数u(x，f)的定义区域是刃“x，t)t0≤《Kt)，『(f)>0，0≤‘<

4、∞}(f)是刃的可移动边界．对(I)中U(x，t)的自变置x作变换．令：J。dslG)记1a(x)一(Ic(x)／C))j注意到C)>0，)>0，从而有．>0，于是_：c—G(：)披唯一确定．在变换(6)下，再作(I)关于未知函数的变换．令v(z，t)一a(x)U，1)则有U一V／d。(V,／a-)dz=～H，‘，(9)k(x)U=V，·武z)一V·口)(1o)()u)一(if(z)一Va(：))／4C)’It(x)(11)c，卅洲1一·t．(12)，在(8)一(11)式中的：)=a(a(：))f'(z)一

5、(G(：)】令g(z)一d(：)／：)，于是(12)式变为-U一c(x)(k(x)9)．一+g(：)因此有如下定理：定理1在变换(6)、(8)下问题(I)等价于(Ⅱ)的求函数偶(g(：)，v(z。f)}，g(：)∈C(O，∞)、v(z，f)∈C“的问题：fV一V+g(：)V一0(13)1(：，t)l一0(14)(Ⅱ)v(z，t)l．Gll=0(15)l(：，删．o=F(?)，o=f(0)=0(16)【F(0)一)t0．(17)·82-南京失学学授致学半年刊I994控2-Foqrler型级数解我们构造(Ⅱ)的

6、Fourier型缴数解为州圳e．(18)l，)解-耐)=l8】3)有砉e。^”cfx#)nRz-G'r(0)口⋯z=~rAcOa)．n)州e‘。c。s等州“sin每)州“c。sn#zdC州一e“等一互。．嵫酗籽s数删OC，~+O2C一一，(19)1f2cHoig>)：～一!：：：!生’(2o1盅(20)警一一(21)将．l(21)代人到09)一鲁叫南，+誊_一(22)(22)式两边对f积分第l期范克新：～类具有可移动边羿的蔼导方程帕反问题·83·c_(：，』+；』(G'IOz一—iJf一g(zll+ctI(

7、zl(23)(21)式两边对：积分有aC(：，f)一'z石G丽q'(t)+c(f)(241了：比较(23)与(24)2一∽叫f+』一!2』JG(101’dt-g(：1)J+。cl)从而有c：∽一，一f(25)一G(f(1))JfG(f(1))一：r⋯“：(26)这里C2(：)；{cl因此有C：(z／一肘(常数1，同时不妨设．4g(z／／：：何(常数)(27)再对(26)两边关于l微分一GG(f(1))+【G．(／(t／1]‘【G(f(1))r————-_———；_—————_—一=——__—一一ⅣG。(f(

8、1))G‘(『(1))’从而有一(f())=何G(f())(28)注意到f(O)=0有G())I．．a=0，同时设f(0)一1．解出方程(28)在初值条件fG(f))-。。’(29)lG(111㈣．a、。。下的解：t如果何>0．(28)的特征方程I=．于是．．．．G(，(』))c】、¨+C一、．(30)·84·南京大学学报数学半年刊994矩}丽足毛玎始条件(29)响解为fC3+C{=01【c一C4-1c)=丽1，